Kompleks ədədlər

Kompleks ədədlərinin həndəsi forması

Kompleks ədədlər (lat. complex) - $z=a+bi$ şəklində olan ifadəyə deyilir.

Tarixi

"Kompleks ədədlər" terminini ilk dəfə fransız alimi Lazar Karno işlətmişdir. Kompleks ədədlərinin həndəsi izahını isə Norveç əsilli Danimarka alimi Vessel Kaspor vermişdir. Xəyali ədədin simvolu ("i") 1777-ci ildə isveçrə alimi Leonard Eyler tərəfindən işlədilmişdi. Sözün kökü olan "imaginarius" ifadəsi latınca "xəyali" deməkdir.

Xarakteristika

Kvadrat tənliklərində diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda bu tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Məs. x²+9=0 tənliyinin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər çoxluğunu elə genişləndirmək lazımdır ki, yeni tənliyin kökü olsun, vurma və toplama əməllərinin xassələri saxlanılsın. Bu məqsədlə "İ" ədədi (xəyali vahid) daxil edilir. "i" ədədi daxil edildikdən sonra çoxluğu elə genişləndirmək lazımdır ki, bütün həqiqi ədədlər və "i" ədədi bu çoxluğa daxil olsun. a və b ədədləri isə həqiqi ədədlər olduğundan bi hasili daxil edək. Buradan alınır: a + bi.

z = a+bi şəklində olan ifadə və ya i² = -1 şərtini ödəyən i ədədinə Kompleks ədəd deyilir. Burada a-ya z-in həqiqi hissəsi deyilir və Re(z) = a düsturu şəklində, b-yə isə z-in xəyali hissəsi deylir və Im(z)= b düsturu şəklində yazılır. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər kompleks ədədlərinin içərisindədir. Aşağıda kompleks ədələrinin növləri göstərilmişdir:

• Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər: z = a+bi şəklində olan kompleks ədədə deyilir.
• Tərs kompleks ədədlər: hasili 1-ə bərabər olan kompleks ədədə deyilir: zw=1.
• Kompleks ədədlərin bərabərliyi:əgər iki kompleks ədəd bərabərdirsə, onların xəyali və həqiqi hissələri də bir-brinə bərabərdir: z=w , a=b.
• Sırf xəyali ədəd: 0 + bi şəklində olan ifadəyə deyilir. 0 ədədi yeganə kompleks ədəddir ki, həm sırf xəyali , həm də həqiqi ədəddir.

Kompleks ədədlərinin triqonometrik forması

Verilmiş kompleks ifadəni triqonometrik şəklə gətirmək üçün aşağıdakı üsullardan istifadə edilir:

1. |z| = R² = a² + b² (məsələn; 2 – 3i olduqda, a=2 və b= -3)
2. cos α = a / R , sin α = b / R.
3. z = R (cos α + isin α)

Verilən cos α = a / R və sin α = b / R ifadələrində arqument olan α bucağını hesablamaq üçün aşağıdakı üsullardan istifadə edilir:

• 1) + sin α və – cos α olduqda, tapılan bucaq π-dən çıxılır.(2-ci rüb)
• 2) – sin α və – cos α olduqda, tapılan bucaq π üzərinə əlavə edilir.(3-cü rüb)
• 3) – sin α və + cos α olduqda, tapılan bucaq 2π-dən çıxılır.(4-cü rüb)
• 4) + sin α və + cos α olduqda, tapılan bucaq olduğu kimi qalır.(1-ci rüb)

Formullar

• Fərqləndirmə:

  $a+bi=c+di$ ifadəsi, $a=c$ və $b=d$ bərabərliklərini bildirir.

• Toplama:

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

• Çıxılma:

  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$

• Vurma:

  $(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

• Bölmə:

  ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i.$

Kompleks ədədlərə aid misallar

• Toplama:

$(3+2\mathrm {i} )+(5+5\mathrm {i} )=(3+5)+(2+5)\mathrm {i} =8+7\mathrm {i}$

• Çıxılma:

$(5+5\mathrm {i} )-(3+2\mathrm {i} )=(5-3)+(5-2)\mathrm {i} =2+3\mathrm {i}$

• Vurma:

$(2+5\mathrm {i} )\cdot (3+7\mathrm {i} )=(2\cdot 3-5\cdot 7)+(2\cdot 7+5\cdot 3)\mathrm {i} =-29+29\mathrm {i}$

1➕i

• Modul:

$|6+8\mathrm {i} |={\sqrt {6^{2}+8^{2}}}={\sqrt {36+64}}={\sqrt {100}}=10$

Resurs

Riyazi istinadları

• Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. Section 5.5 Complex Arithmetic // Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd). New York: Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-88068-8.

Tarixi istinadları

• Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ (hardcover). Princeton University Press. 1998. ISBN 0-691-02795-1.

  A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.

• H.-D. Ebbinghaus ... Numbers (hardcover). Springer. 1991. ISBN 0-387-97497-0.

  An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Xarici keçidlər

• Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• Dimensions: a math film.
• Wikibooks: Komplexe Zahlen
• Geschichte der komplexen Zahlen
• Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
• Rechnen mit komplexen Zahlen
• Dimensions: a math film. Einbettung der komplexen Zahlen in die Darstellung höherer Dimensionen (auch Chaostheorie) insb. Kapitel 5 und 6
• Java-Applet zur geometrischen Deutung Arxivləşdirilib 2013-04-13 at the Wayback Machine
• Java-Klasse, zur Berechnung komplexer Zahlen
• Rechner für komplexe Zahlen