İbtidai funksiya

İbtidai funksiya (və ya qeyri müəyyən inteqral; törəmənin əksi) verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F(x)=f'(x) bərabərliyini ödəyən funksiya. F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

Nümunə: Göstərək ki, ${\displaystyle F(x)=3x^{4}}$ funksiyası ${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$ aralığında ${\displaystyle f(x)=12x^{3}}$ funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

${\displaystyle F'(x)=(3x^{4})'=3(x^{4})'=3\cdot 4x^{3}=12x^{3}=f(x)}$

Doğrudan da aralığının istənilən nöqtəsində bərabərliyi ödənilir. Tutaq ki funksiyası verilmiş aralıqda kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Onda ixtiyarı sabitı üçün funksiyası da həmin aralıqda funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Qeyri müəyyən inteqralın (ibtidai funksiya) aşağıdakı xassələri var.
1: Qeyri müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiya diferensialı isə inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:

${\displaystyle (\int f(x)dx)'=f(x)}$

${\displaystyle d(\int f(x)dx)=f(x)dx}$

İsbatı: Tutaq ki, F(x) funksiya ibtidai f(x)-sin funksiyasıdır: F(x)=f(x). Onda ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$ yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alsaq,

${\displaystyle \int f(x)dx=(F(x)+C)'=F'(x)+C'}$,

yəni

${\displaystyle \int f(x)dx=f(x)}$.

2.Kəsilməz törəməsi olan F(x) funksiyasını törəməsinin qeyri-müəyyən inteqralı onun özündən sabit toplananla fərqlənir, yəni

${\displaystyle \int F'(x)dx=F(x)+C}$

və ya

${\displaystyle \int dF'(x)dx=F(x)+C}$.

Burada F(x)-kəsilməz diferensiallanan funksiyadır. Bu xassə, bilavasitə qeyri-müəyyən inteqralın tərifindən alınır.
3.Sıfırdan fərqli sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.

${\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\neq 0)}$

Doğrudan da, F'(x)=f(x) isə, sıfırdan fərqli k sabiti üçün ${\displaystyle (kF(x))'=kF'(x)=kf(x)}$ olduğundan, ${\displaystyle \int kf(x)dx=kF(x)+C=k\int f(x)dx}$ alırıq:
${\displaystyle (x^{\alpha +1})'=(\alpha +1)x^{\alpha }}$ olduğundan 2-ci və 3-cü xassələri tətbiq etməklə belə nəticəyə gəlirik ki istənilən ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ üçün

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {1}{\alpha +1}}\int (\alpha +1)x^{\alpha }dx={\frac {1}{\alpha +1}}\int (x^{\alpha +1})'dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C}$.

4. Cəmin qeyri-müəyyən inteqralı toplananların qeyri -müəyyən ınteqralları cəminə bərabərdir:

${\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.}$

• Cəbr və analizin başlanğıcı - Ümumtəhsil məktəblərinin XI sinfi üçün dərslik; M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov,K.N.İsmayilzadə, İ.H.Hüseynov, M.A.Kərimov, Ə.F.Quliyev; Çaşıoğlu nəş. 2007.