Şvars prinsipi

Bu məqaləni vikiləşdirmək lazımdır. Lütfən, məqaləni ümumvikipediya və redaktə qaydalarına uyğun şəkildə tərtib edin.

Fərz edək ki, ${\displaystyle \sigma }$ oblastı konturu üzərində düzgün ${\displaystyle \gamma }$ analitik xətti saxlayır.

Teorem[redaktə | mənbəni redaktə et]

${\displaystyle \sigma }$ oblastında analitik və ${\displaystyle \gamma }$ üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan ${\displaystyle f(z)}$ funksiyasını ${\displaystyle \gamma }$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. ${\displaystyle f(z)}$-in ${\displaystyle \gamma }$ üzrə qiymətləri ${\displaystyle z\rightarrow t}$ olduqda ${\displaystyle f(z)}$-in ${\displaystyle f(t)}$ limit qiyməti başa düşülür.

İsbatı[redaktə | mənbəni redaktə et]

Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, ${\displaystyle \gamma }$ həqiqi oxun ${\displaystyle [a,b]}$ parçasıdır. Onda ${\displaystyle \gamma }$-nın tənliyi

${\displaystyle {\begin{cases}x=t&\\y=0&\end{cases}}}$${\displaystyle \alpha \leq t\leq \beta }$

olar. Şərtə görə ${\displaystyle f(t)}$ funksiyası ${\displaystyle [a,b]}$ üzərində analitik olduğundan bu parçanın ${\displaystyle x_{o}}$ nöqtəsi ətrafında

${\displaystyle f(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{k}(t-x_{0})^{k}}$

olar. Burada ${\displaystyle t}$ evazine kompleks ${\displaystyle z}$ dəyişənini yazsaq

${\displaystyle \varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{k}(z-x_{0})^{k}}$

funksiyasrı ${\displaystyle x=x_{o}}$ nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.

${\displaystyle \omega (z)=\varphi (z)-f(z)}$

ile işarə edək. Aydındır ki, ${\displaystyle \omega _{x_{0}},\sigma _{x_{0}}}$ oblastında analitik funksiya olmaqla ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$ üzrə

${\displaystyle \lim \limits _{z\rightarrow t}\omega (z)=\lim \limits _{z\rightarrow t}\varphi (z)-\lim \limits _{z\rightarrow t}f(z)}$ ${\displaystyle \omega (t)=f(t)-f(t)=0}$

olur. ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$ üzrə ${\displaystyle \omega (t)=o}$ olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə ${\displaystyle \omega (z)}$ -i ${\displaystyle \gamma }$ xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, ${\displaystyle \omega (z)}$ funksiyası mərkəzi ${\displaystyle x_{0}}$olan və ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$ parçası öz daxilinə alan müəyyən bir ${\displaystyle \sigma _{x_{0}}}$ ətrafında analitik olmaqla ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$ üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda ${\displaystyle \omega (z)\equiv o}$ və yaxud da

${\displaystyle \varphi (z)=f(z)}$

olar. Başqa sözlə, ${\displaystyle f(z)}$ funksiyasını ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$ xəttindən analitik davam etdirmsk olar. ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsi ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan ${\displaystyle f(z)}$-i ${\displaystyle \gamma }$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. Bu üsuldan göründüyü kimi ${\displaystyle \varphi (z)}$ funksiyası ${\displaystyle f(z)}$-in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, ${\displaystyle z=z(t)}$ ${\displaystyle (\alpha \leq t\leq \beta )}$ düzgün ${\displaystyle \gamma }$ analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə ${\displaystyle f(z)}$, ${\displaystyle \gamma }$ üzrə analitik funksiya olduğundan

${\displaystyle \Phi (t)=f[z(t)]}$

funksiyasını hər hansı ${\displaystyle t=t_{0}}$ nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:

${\displaystyle \Phi (t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\beta _{k}(t-t_{0})^{k}.}$

Şərtə görə ${\displaystyle z^{\prime }(t_{0})\neq 0}$ olduğundan ${\displaystyle t=t_{0}}$-ın elə ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$ ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf

${\displaystyle z=z(t)}$

funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi ${\displaystyle \gamma }$ üzərində olan ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. ${\displaystyle \Phi (t)}$ mərkəzi ${\displaystyle t_{0}}$ nöqtəsində olan müəyyən ${\displaystyle K_{t_{0}}}$ parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı ${\displaystyle K_{t_{0}}}$ parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını ${\displaystyle \Phi _{0}(t)}$ ilə işarə edək. ${\displaystyle z=z(t)}$ funksiyası vasitəsilə ${\displaystyle \delta _{t_{0}}}$-ın ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$ ətrafı ${\displaystyle \delta _{t_{0}}}$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan ${\displaystyle t}$-in istənilən ətrafında

${\displaystyle z^{\prime }(t)\neq 0}$

olar. Ona görə də ${\displaystyle t=p(z)}$-i ${\displaystyle z=z(t)}$-nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda

${\displaystyle \varphi _{1}(z)=\Phi _{0}[p(z)]}$

funksiyası ${\displaystyle z}$ nöqtəsini daxilinə alan və ${\displaystyle \gamma }$-nın hissəsi olan müəyyən bir ${\displaystyle \gamma _{z_{0}}}$ qövsündən ${\displaystyle f(z)}$ -in analitik davamı olar. ${\displaystyle z_{0},\gamma }$ qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, ${\displaystyle f(z)}$ -i ${\displaystyle \gamma }$ xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.

Ədəbiyyat[redaktə | mənbəni redaktə et]

1. Ə.H.Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: «Bakı Universiteti» nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı “BDU nəşriyyatı”, 2008, 234 səh. Arxivləşdirilib 2017-05-17 at the Wayback Machine

3. А.Н.Колмогоров, С.М.Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5. Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.М., 1959 г.

6.М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.1.Функциональный анализ, 1977 г.

7.В.А.Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу.М., 1984 г.

8.Ə.Həbibzadə. Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Bakı, 1962

Xarici keçidlər[redaktə | mənbəni redaktə et]

Функции комплексной переменной