Elliptik inteqral

${\displaystyle \int \limits _{}^{}R(x,{\sqrt {P(x)}})dx}$ (1)

inteqralına baxaq.Burada ${\displaystyle P(x)}$ dərəcəsi ${\displaystyle n\geqslant 3}$ olan çoxhədlidir.${\displaystyle n=3}$ və ${\displaystyle n=4}$ olduqda (1) şəklindəki inteqrallara ${\displaystyle elliptik}$ inteqrallar,${\displaystyle n\geqslant 5}$ olduqda isə ${\displaystyle hiperelliptik}$ inteqrallar deyiıir.Abel və Liuvill isbat etmişlər ki,elliptik inteqrallar, ümumiyyətlə, sonlu şəkildə hesablanmir.Göstərmək olar ki, (1) şəklindəki inteqrallar ${\displaystyle n=3}$ və ${\displaystyle n=4}$ olduqda hesablanan inteqrallar dəqiqliyi ilə aşağıdakı inteqrallardan birinə gətirilir ( burada ${\displaystyle 0<k<1}$ parametrdir ) :

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$ (2)

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {x^{2}dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$ (3)

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1+nx^{2})(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$ (4)

(2), (3) və (4) inteqrallarını əvəzləmələr vasitəsilə uyğun olaraq aşağıdakı inteqrallara gətirmək olar:

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}}}$ (5)

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi }$ (6)

${\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}$ (7)

(5), (6) və (7) inteqrallarına uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və 3-cü elliptik inteqrallar deyilir.(5) və (6) inteqrallarının ${\displaystyle \varphi =0}$ qiymətində sıfra çevrilən ibtidai funksiyalarını uyğun olaraq ${\displaystyle F(k,\varphi )}$ və ${\displaystyle E(k,\varphi )}$ ilə işarə edirlər.