Harmonik analiz

Harmonik analiz — funksiyaların və yaxud siqnalların əsas dalğalarının superpozisiyası kimi təqdim edilməsi, Furye seriyası və Furye çevrilmələri anlayışlarının öyrənilməsi və ümumiləşdirilməsi ilə məşğul olan riyaziyyatın bir sahəsidir (yəni Furye analizinin genişləndirilmiş formasıdır). Son iki əsr müddətində o, ədədlər nəzəriyyəsi, təmsilçilik nəzəriyyəsi, siqnalların işlənməsi, kvant mexanikası, gelgit analizi və nevrologiya kimi müxtəlif sahələrdə tətbiqləri ilə geniş bir mövzuya çevrildi.

"Harmonika" termini qədim yunanca "harmonikos" sözündən yaranmışdır, mənası "musiqidə mahir olan" deməkdir.^[1] Fiziki öz dəyər məsələlərində musiqi notlarının harmonikasının tezlikləri kimi tezlikləri bir-birinin tam ədədi olan dalğaları nəzərdə tutmağa başlamış, buna baxmayaraq, bu termin ilkin mənasından kənarda ümumiləşdirilmişdir.

Rⁿ-də klassik Fourier çevrilməsi hələ də davam edən tədqiqat sahəsidir, xüsusən olaraq temperli paylamalar kimi daha ümumi obyektlərdə Furye çevrilməsi ilə bağlıdır. Məsələn, biz f paylanmasına bəzi tələblər irəli sürsək, bu tələbləri f-nin Furye çevrilməsi baxımından tərcümə etməyə cəhd edə bilərik. Bunun nümunə olaraq Paley–Viener teoremini göstərə bilərik. Paley-Viener teoremi dərhal nəzərdə tutur ki, əgər f yığcam dəstəyin sıfırdan fərqli paylanmasıdırsa (bunlara yığcam dəstəyin funksiyaları daxildir), onda onun Furye çevrilməsi heç vaxt yığcam şəkildə dəstəklənmir (yəni, siqnal bir sahədə məhduddursa, o, digər sahədə qeyri-məhduddur.). Bu, harmonik analiz şəraitində qeyri-müəyyənlik prinsipinin çox sadə formasıdır. Furye seriyası harmonik analiz və funksional analiz arasında əlaqəni təmin edən Hilbert sahəsi konteksində çox rahat şəkildə öyrənilə bilər. Transformasiya nümayiş olunan sahələrdən asılı olaraq Fourier transformasiyasının dörd versiyası mövcuddur.

Kökləri XX əsrin ortalarına dayanan harmonik analizin ən müasir sahələrindən biri topoloji qruplar üzrə təhlildir. Əsas motivasiya edən ideyalar Hausdorfun (Hausdorff) lokal yığcam topoloji qruplarında müəyyən edilmiş funksiyaların çevrilməsinə ümumiləşdirilə bilən Fourier müxtəlif dəyişiklikləridir.

Abelian lokal yığcam qruplar üçün nəzəriyyə Pontryagin ikiliyi adlanır.

Harmonik analiz həmin ikiliyin və Furye çevrilməsinin xassələrini öyrənir və bu xüsusiyyətləri müxtəlif parametrlərə, məsələn, qeyri-abelian Lie qruplarının vəziyyətini genişləndirməyə çalışırdı.

Ümumiyyətlə, qeyri-lokal yığcam qruplar üçün harmonik analiz unitar qrup təsəvvürlərinin yaranması ilə sıx əlaqəlidir. Peter-Veyl teoreminin yığcam qrupları üçün təsəvvürlərin hər sinfindən olan ekvivalentliyinin bir təsəvvürünü seçərək harmonikanın necə alınacağını izah edirdi. Harmoniklərin bu seçimi Furyein klassik dəyişməsinin bir sıra faydalı xüsusiyyətlərinə malikdir və yaxud başqa şəkildə əsasdakı qrup strukturunun müəyyən anlayışını nümayiş etdirir.

Əgər qrup nə abelian, nə də yığcamdırsa, o zaman heç bir ümumi qənaətbəxş nəzəriyyə məlum deyil ("qənaətbəxş" ən azı Plancherel teoremi qədər güclü deməkdir). Bununla belə, bir çox xüsusi vəziyyətlər təhlil edilmişdir, məsələn, SL_n. Bu vəziyyətdə sonsuz ölçülərdə təsvirlər həlledici rol oynayır.

• Domenlər, manifoldlar və qrafiklər üzərində Laplasiyanın özəl qiymətlərinin və məxsusi vektorlarının öyrənilməsi də harmonik analizin bir bölməsi hesab olunur. Siz baxa bilərsiniz: nağar formasında səs eşitmək^[2]

• Evklid fəzalarında harmonik analiz Rⁿ-də Furyer çevrilməsinin ümumi qruplar üzrə analoqu olmayan xassələri ilə məşğul olur. Məsələn, Furyer transformasiya fırlanmadan asılı deyil. Furyerin transformasiyası onun radial və sferik tərkib hissələrinə çevrilməsi Bessel funksiyaları və sferik tərkib hissələrinə çevrilməsi Bessel funksiyaları və sferik Harmonika kimi mövzulara gətirib çıxarır.

• Boru sahələrində harmonik analiz Hardy fəzalarının xassələrinin daha yüksək ölçülərə ümumiləşdirilməsi ilə bağlıdır.

• Elm və mühəndislikdə harmonik analizin bir çox tətbiqi fenomen və yaxud siqnalın ayrı-ayrı salınan komponentlərin cəmindən ibarət olması ideyası və ya fərziyyəsi ilə başlayır. Okean gelgitləri və titrəyən simlər ümumi və sadə nümunələrdir. Nəzəri yanaşmaya əsasən, tez-tez salınan komponentlərin amplitudası, tezliyi və fazaları daxil olmaqla, əsas xüsusiyyətləri proqnozlaşdırmaq üçün sistemi diferensial tənlik və yaxud tənliklər sistemi ilə təsvir etməyə çalışmaqdır. Xüsusi tənliklər sahədən asılı olaraq dəyişir, buna baxmayaraq, nəzəriyyələr adətən əsas tətbiq olunan prinsipləri təmsil edən tənlikləri seçməyə çalışırlar.

• Eksperimental yanaşma adətən fenomeni dəqiq kəmiyyətcə müəyyən edən məlumatların əldə edilməsindən ibarətdir. Misal üçün, gelgitlərin tədqiqi zamanı kifayət qədər yaxın intervallarda və çoxlu salınım dövrlərinin daxil edildiyi kifayət qədər uzun müddət ərzində zaman funksiyası olaraq suyun dərinliyi nümunələrini əldə edərdi. Titrəmə telləri üzərində aparılan araşdırmada gözlənilən ən yüksək tezlikdən ən azı iki dəfə sürətlə və gözlənilən ən aşağı tezlik dövründən dəfələrlə uzun müddət ərzində nümunə olaraq verilmiş səs dalğa formasını əldə etməsi normal haldır.

• Məsəl üçün, sağdakı yuxarı siqnal əsas olan tezliyi 55Hz olan A nöqtəsinə uyğun açıq simli çalan bas gitaranın səs dalğasıdır. Dalğa forması dəyişkən görünür, buna baxmayaraq, əlavə dalğaların mövcudluğunu göstərən sadə bir sine dalğadan daha mürəkkəbdir. Səsə təsir edən müxtəlif dalğa kompenentləri aşağıdakı şəkildə göstərilən Furyerin transformasiyası kimi tanınan riyazi təhlil üsullarından istifadə etməklə aşkar edilə bilər. Həmçinin qeyd etmək lazımdır ki, 55 Hz-də məşhur pik nöqtə var, amma 110Hz, 165Hz və 55Hz-ın tam qatlarına uyğun gələn digər tezliklərdə başqa zirvələrdə var. Bu halda isə, 55 Hz simli vibrasiyanın əsas tezliyi kimi müəyyən edilir və həmçinin, tam ədədlər harmoniklər kimi tanınır.