Puankare teoremi

Puankare teoremi isbat edilmişdir. Puankare fərziyyəsi, sərhədi olmayan hər bir sadə bağlanmış yığcam üçölçülü manifoldun üçölçülü sferaya homeomorfik olması ilə bağlı sübut edilmiş riyazi fərziyyədir. 1904-cü ildə riyaziyyatçı Henri Puankare tərəfindən tərtib edilmiş bu fərziyyə 2002-2003-cü illərdə Qriqori Perelman tərəfindən bir sıra məqalələrdə sübut edilmişdir.

2002-ci ildə rusiyalı riyaziyyatçı Qriqori Perelman minilliyin yeddi məsələlərindən birini (mühüm riyazi problemlər, hansıların həlli on illər ərzində tapılmamışdır) isbat etmişdir. Perelman göstərmişdir ki, ilkin üçölçülü səth mütləq üçölçülü sferaya evolyusiya edəcəkdir. Bu iş üçün riyaziyyat üzrə çox dəyərli və Nobel mükafatının analoqu olan "Filds medalı" ilə təltif edilmlşdir.

Sübutun 2006-cı ildə riyaziyyat ictimaiyyəti tərəfindən təsdiqindən sonra Puankare fərziyyəsi minilliyin ilk və indiyə qədər (2024) həll edilmiş problemi oldu.

Ümumiləşdirilmiş Puankare fərziyyəsi - hər şeyin olduğu ifadəsi ${\displaystyle n}$ - ölçülü manifold homotopiya ekvivalentidir ${\displaystyle n}$ - ölçülü sfera yalnız və yalnız ona homeomorf olduqda.

20-ci əsrin sonlarında bu iş sübut olunmamış yeganə hal olaraq qaldı. Beləliklə, Perelmanın sübutu ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutunu da tamamlayır.

Riççi axını istilik tənliyinə bənzər xüsusi bir qismən diferensial tənlikdir. Rieman metrikasını manifoldda deformasiya etməyə imkan verir, lakin deformasiya prosesində "təkliklərin" meydana gəlməsi mümkündür - əyriliyin sonsuzluğa meyl etdiyi və deformasiyanın davam etdirilməsi mümkün olmayan nöqtələr. Sübutda əsas addım bu cür təklikləri üçölçülü yönümlü halda təsnif etməkdir. Sinqulyarlığa yaxınlaşdıqda, axın dayandırılır və "əməliyyat" aparılır - kiçik bir əlaqəli komponent atılır və ya "boyun" kəsilir (yəni birbaşa məhsula diffeomorfik açıq bölgə).

${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$)və nəticədə yaranan iki dəlik iki topla bağlanır ki, nəticədə yaranan manifoldun metrikası kifayət qədər hamar olur - bundan sonra deformasiya Ricci axını boyunca davam edir.

Yuxarıda təsvir edilən proses cərrahiyyə ilə Riççi axını adlanır. Təkliklərin təsnifatı hər bir “atılmış parça”nın sferik məkan formasına diffeomorf olduğu qənaətinə gəlməyə imkan verir.

Puankare zənnini sübut edərkən, sadəcə birləşdirilmiş üçölçülü manifoldda ixtiyari Rieman metrikası ilə başlayır.

1900-cü ildə Henri Puankare sferanın bütün homoloji qruplarına malik üçölçülü manifoldun kürəyə homeomorf olduğunu təklif etdi. 1904-cü ildə o, indi Puankare sferası adlanan əks nümunə də tapdı və fərziyyəsinin son versiyasını formalaşdırdı. Puankare zənnini sübut etmək cəhdləri manifoldların topologiyasında çoxsaylı irəliləyişlərə səbəb olmuşdur.

Puankare fərziyyəsi uzun müddətdir ki, tədqiqatçıların diqqətini cəlb etmir. 1930-cu illərdə John Whitehead bir sübut elan edərək fərziyyəyə marağı canlandırdı, lakin sonra onu tərk etdi. Axtarış prosesində o, sadəcə birləşdirilmiş qeyri-kompakt 3-manifoldların, qeyri-homeomorfların bəzi maraqlı nümunələrini kəşf etdi. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, prototipi Whitehead manifoldu kimi tanınır.

Ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutları üçün ${\displaystyle n\geqslant 5}$ 1960-1970-ci illərin əvvəllərində demək olar ki, eyni vaxtda Smayle tərəfindən müstəqil olaraq və Stallinqsom tərəfindən başqa üsullarla əldə edilmişdir ${\displaystyle n\geqslant 5}$, onun sübutu işlərə də genişləndi ${\displaystyle n=5,6}$. Daha çətin bir işin sübutu ${\displaystyle n=4}$ yalnız 1982-ci ildə Fridman tərəfindən əldə edilmişdir. Pontryaqinin xarakterik siniflərinin topoloji dəyişməzliyi haqqında Novikov teoremindən belə çıxır ki, yüksək ölçülərdə homotopiya ekvivalenti, lakin homeomorf olmayan manifoldlar mövcuddur.

Orijinal Puankare zənninin (və daha ümumi Thurston zənninin] sübutunu Qriqori Perelman tapıb və [[arXiv] saytında üç məqalədə dərc edib. ] 2002-2003-cü illərdə. Daha sonra, 2006-cı ildə Perelmanın sübutu ən azı üç qrup alim tərəfindən təsdiqləndi və geniş formada təqdim edildi^[1]. Sübut Ricci flow modifikasiyasından istifadə edir (""Cərrahiyyə ilə Riççi axını"" adlanır) və əsasən R.S.Hamilton, o da Ricci axınından ilk istifadə etdi.

• [[1986]-cı ildə]Michael Friedman Fields Laureatı oldu.
• [[2006]-cı ildə]Qriqori Perelman Fields Laureatı oldu (imtina edildi).
• 2010-cu ildə Clay Riyaziyyat İnstitutu Dr. Qriqori Perelman] Arxiv surəti 8 sentyabr 2017 tarixindən Wayback Machine saytında (ing.). Kley Riyaziyyat İnstitutunun press-relizi. </ref> Perelman Millenium Prize (imtina edilib).

• 2006-cı ildə Science jurnalı Perelmanın Puankare zənninin sübutunu elmi "ilin sıçrayışı"^[2]. Bu, riyaziyyatda bu adı qazanan ilk əsərdir^[3].
• 2006-cı ildə Sylvia Nazar məşhur^[4] " məqaləsini daxil etdi. Manifold Destiny”, Puankare zənninin sübutunun hekayəsindən bəhs edir^[5].

http://www.vokrugsveta.ru/article/239630/