Rikkati tənliyi

${\displaystyle y^{\prime }+a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)=0}$ ${\displaystyle (*)}$

şəklində tənliyə Rikkati tənliyi deyilir. Rikkati tənliyi ${\displaystyle b(x)=0}$ olduqda xətti, ${\displaystyle c(x)=0}$ olduqda isə Bernulli tənliyinə çevrilir. Rikkati tənliyinin hər hansı ${\displaystyle y_{1}(x)}$ xüsusi həlli məlum olduqda ${\displaystyle y(x)=y_{1}(x)+z(x)}$ əvəzləməsi vasitəsilə Bernulli tənliyinə gətirlir. Ümumi halda, Rikkati tənliyi kvadraturaya gətirilə bilmir, yəni həll etmək olmur.

Xüsusi halda:

${\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)}$

haradakı ${\displaystyle \alpha ,\,a,\,b\neq 0}$ —sabiti, ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı tədqiq etmişdir Yakopo Françesko Rikkati və ailələrini Bernulli ^[1][2][3]. ${\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,}$ или ${\displaystyle \alpha =-2}$ Jozef Liuvill (1841)isbat etmişdir. ${\displaystyle (*)}$ şəkildə ümumi Rikkati tənliyi , ${\displaystyle (**)}$ — isə xüsusi Rikkati tənliyi adlanır.

1. ${\displaystyle y^{\prime }+m(x)(Ay+By^{2}+C)=0}$ olduqda dəyişənlərinə ayrılan,
2. ${\displaystyle y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+C=0}$ olduqda bircins,
3. ${\displaystyle y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B(y)^{2}+{\frac {C}{x^{2}}}=0}$ olduqda ümumiləşmiş bircns tənliyə çevrilir.

${\displaystyle y^{\prime }+2ye^{x}-y^{2}=e^{2x}+e^{x}}$ Rikkati tənliyini həll edin.

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{x}}$ tənliyin həlli olduğunu bilavasitə yoxlamaq olar. Onda ${\displaystyle y(x)=z+e^{x}}$ əvəzləməsini aparmaqla alırıq:

${\displaystyle z^{\prime }+e^{x}+2(z+e^{x})e^{x}-(z+e^{x})^{2}=e^{2x}+e^{x},z^{\prime }-z^{2}=0.}$

Alınan tənliyi həll etsək, ${\displaystyle z={\frac {1}{x+C}}.}$

Deməli, ${\displaystyle y=e^{x}-{\frac {1}{x+C}}}$ Rikkati tənliyinin ümumi həlli olur.

• Q.T. Əhmədov, K.Q. Həsəov, M.H. Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.
• И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.
• Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.
• В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., 1959.
• А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004.
• X.M. Quliyev, K.Q. Həsəov, Difernsial tənliklər, Məsələ və misallar tənliyi, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.
• M.H. Yaqubov, Y.T. Mehrəliyev, Birtərtibli adi difernsial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.
• Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.
• Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.
• А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.

1. ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
2. ↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.^{[ölü keçid]}
3. ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation