0.(9)

0.999… (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) — Riyaziyyatda onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9 rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999… ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür.^[1] Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 …" və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyin riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0,(5)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3)}$ kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}}$

${\displaystyle 1=0,(9)}$ bərabərliyini alarıq.

${\displaystyle 0.(9)}$ ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən ${\displaystyle x}$ ilə əvəzləyək.

${\displaystyle x=0,(9)}$

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

${\displaystyle 10x=9,(9)}$

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni ${\displaystyle x}$-i çıxaq.

${\displaystyle 9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9}$

Sadələşdirək.

${\displaystyle x=1}$

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$

${\displaystyle n}$ sonsuza yaxınlaşarkən ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ifadəsi ${\displaystyle 0}$-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$ dir.

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$ və ${\displaystyle a}$ sabit ədəddir və ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$-dir.

Ümumi termini ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$ və sabit ədədi ${\displaystyle 9}$ olan ardıcıllıq ${\displaystyle 0.(9)}$-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}$ olduğunu görə bilərik.