Atlas (topologiya)

Riyaziyyatda, xüsusən də topologiyada bir atlasdan istifadə edilərək bir çoxobrazlı təsvir olunur. Atlas, təxminən desək, çeşidli ayrı-ayrı bölgələri təsvir edən fərdi qrafiklərdən ibarətdir. Əgər çoxobrazlı Yerin səthidirsə, onda bir atlasın daha çox ümumi mənası var. Ümumiyyətlə, Atlas anlayışı, çox yönlü və əlaqəli quruluşların, məsələn, vektor dəstələri və digər lif dəstələri kimi formal tərifin əsasını təşkil edir.

Bir atlasın tərifi bir qrafik anlayışına bağlıdır. Bir topoloji məkan M üçün cədvəl (koordinat cədvəli, koordinat yaması, koordinat xəritəsi və ya yerli çərçivə də deyilir) bir homeomorfluqdur ${\displaystyle \varphi }$ U açıq bir M-dən Evklid məkanının açıq çoxluqlarlna qədərdir. Qrafik ənənəvi olaraq sifariş edilmiş cüt ${\displaystyle (U,\varphi )}$ olaraq qeyd olunur.

Bir topoloji məkan üçün bir atlas indeksləşdirilmiş ${\displaystyle M}$ ailəsidir ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ qrafikləru üzərində ${\displaystyle M}$ hansı ki,${\displaystyle M}$ əhatə dairəsini təyin edir(yəni, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=M}$). Hər bir cədvəlin kodomaini n ölçülü Evklid məkanıdırsa, onda ${\displaystyle M}$-in n ölçülü bir çoxobrazlı olduğu deyilir.

Bəzi müəlliflər atlastlardan istifadə etsələr də,atlaslar çoxluğu atlaslardır^[1][2].

Atlas ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ üzərində ${\displaystyle M}$ ölçülü çoxluq hər bir cədvəlin görüntüsü olduqda, adekvat atlas adlanır,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ or ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$, ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$-in yerli məhdud altçoxluqlar ailələri örtüyüdür,hardaki, ${\displaystyle B_{1}}$ başlanğıc mərkəzində olan radius 1 açıq topdur və ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ qapalı yarım boşluqdur. Hər ikinci sayıla bilən çoxluq adekvat bir atlas qəbul edir^[3]. Üstəlik, əgər${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ikinci sayıla bilən çoxobrazlının açıq örtüyüdürsə, onda ${\displaystyle M}$ orada adekvat bir atlasdır,${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$, üzərində belə ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ zəifliyidir^[3].

Bir keçid xəritəsi bir atlasın iki qrafikini müqayisə etmək üçün bir yol təqdim edir. Bu müqayisəni etmək üçün, bir cədvəlin tərkibini digərinin tərsi ilə nəzərdən keçiririk. Bu kompozisiya istisna olmaqla, yaxşı müəyyən edilməmişdir,biz hər iki cədvəlin tərif sahələrinin kəsişməsi ilə məhdudlaşırıq.(Məsələn, Avropanın bir qrafiki və Rusiyanın bir qrafiki varsa, onda bu iki qrafiki üst-üstə düşərsə müqayisə edə bilərik,yəni Rusiyanın Avropa hissəsi.)

Daha dəqiq desək, güman edək ki,${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ və ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ belə bir çoxobrazlı M üçün iki qrafikdir,${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ isə boş çoxluqdur. Keçid xəritəsi ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ tərəfindən təyin olunan xəritədir:

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

Qeyd edək ki,${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ və ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ hər iki homeomorfluqdur, keçid xəritəsi ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$ eyni zamanda bir homeomorfluqdur.

Biri tez-tez sadəcə topoloji quruluşdan daha çoxbir çoxobrazlıda daha çox quruluş istəyir. Məsələn, törəmə funksiyaların fərqləndirilməsi barədə birmənalı bir anlayış istəsən, keçid funksiyaları bir-birindən fərqlənən bir atlas qurmaq lazımdır. Fərqlənən bir müxtəlifliyi nəzərə alsaq, birmənalı olaraq tangent vektorlar və sonra yönlü törəmələr anlayışını təyin etmək olar.

Hər bir keçid funksiyası hamar bir xəritədirsə, onda atlas hamar atlas, çoxobrazlının özü isə hamar adlanır. Alternativ olaraq, keçid xəritələrində yalnız k davamlı törəmələrin olmasını tələb etmək olar, bu halda atlasın ${\displaystyle C^{k}}$ olduğu deyilir.

Ümumiyyətlə, hər bir keçid funksiyası bir yalançı qrup çevrilmələrinə aiddirsə,${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ Evklid məkanının homeomorfluqlarıdır, onda atlasa ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ — atlas deyilir.

Bir atlasın qrafikləri arasındakı keçid xəritələri yerli trivializasiyanı qorusa, sonra atlas bir lif dəstəsinin quruluşunu təyin edir.

• Homeomorfluq
• Törəmə
• Topologiya

• Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. Compact Lie Groups. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Husemoller, D, Fibre bundles, Springer, 1994, Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

• Atlas Rouland Todd tərəfindən