Vin qanunu

Vin qanunu (yerdəyişmə qanunu) — mütləq qara cismin şüalanma spektrində enerjinin temperaturdan asılı olaraq paylanması qanunu.

Vilhelm Vin bu qanunu ilk dəfə 1893-cü ildə termodinamika qanunlarını elektromaqnit şüalanmasına tətbiq etməklə çıxarmışdır. İntensivlik pikinin temperatura nəzərən yerdəyişməsi təcrübi olaraq müşahidə edilmişdir. Hal-hazırda, Vinin yerdəyişmə qanunu riyazi olaraq Plank qanunundan əldə etmək mümkündür.

Qanun aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}$

burada ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — maksimum intensivlikli şüalanmanın dalğa uzunluğu, ${\displaystyle T}$ — mütləq temperatur,${\displaystyle b}$ isə mütənasiblik əmsalı olub, Vin sabiti adlanır. Mütənasiblik əmsalı ${\displaystyle b={\frac {ch}{k\alpha }}}$ (burada c — işığın vakuumdakı sürəti, h — Plank sabiti, k — Bolsman sabiti, α ≈ 4,965114… isə sabit kəmiyyət olub, ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha }}$ tənliyinin köküdür), Vin sabitinin Beynəlxalq Vahidlər Sistemindəki (BS) qiyməti 2898 mkm·K-dir.

İşığın tezliyi üçün (herslə) Vinin yerdəyişmə qanunu aşağıdakı formada olar:

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\approx 5{,}879\times 10^{10}\cdot T}$

α≈ 2,821439… — sabit kəmiyyət (${\displaystyle \alpha /3=1-e^{-\alpha }}$ tənliyinin kökü), k — Bolsman sabiti, h — Plank sabiti, T isə mütləq temperaturdur. Buradakı ədədi sabitlərin fərqi şüalanmanın dalğa uzunluğu və tezliyi üçün yazılmış Plank paylanmasındakı eksponentlər arasındakı fərqlə bağlıdır: bir halda ${\displaystyle \lambda ^{-5}}$, digər halda isə ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3}}$ daxildir. Bu fərq, öz növbəsində, tezlik və dalğa uzunluğu arasındakı əlaqənin qeyri-xətti olmasından irəli gəlir:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }},\quad {\frac {d}{d\omega }}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}}$

Çıxarılış üçün mütləq qara cismin şüalanma qabiliyyəti ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)}$ üçün Plank qanununun ifadəsindən istifadə etmək olar:

${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}$

Dalğa uzunluğundan asılı olaraq bu funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün onun ${\displaystyle \lambda }$ dəyişəninə nəzərən törəməsini almaq və həmin törəməni sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır:

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0}$

Bu düsturdan dərhal müəyyən etmək olar ki, ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ və ya ${\displaystyle e^{hc/\lambda kT}\to \infty }$ olduqda törəmə sıfıra yaxınlaşır, bu ${\displaystyle \lambda \to 0}$ üçün doğrudur. Lakin bu halların hər ikisi ${\displaystyle B(\lambda )}$ Plank funksiyasının minimumunu verir, verilmiş dalğa uzunluqları üçün sıfıra çatır (yuxarıdakı şəkilə bax). Buna görə də analiz yalnız üçüncü mümkün halda davam etdirilməlidir

${\displaystyle {\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5=0}$

${\displaystyle {\displaystyle x={\frac {hc}{kT\lambda }}}}$ əvəzləməsindən istifadə etməklə, bu tənliyi aşağıdakı formaya çevirmək olar

${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0}$

Bu tənliyin ədədi həlli aşağıdakı kimidir^[1]

${\displaystyle x=4{,}965114231744276\ldots }$

Beləliklə, əvəzetmədən, Plank və Bolsman sabitlərinin qiymətlərindən və işıq sürətindən istifadə edərək, qara cismin şüalanma intensivliyinin maksimuma çatdığı dalğa uzunluğunu müəyyən edə bilərik:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}}}$

burada ${\displaystyle T}$ kelvinlə, ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ isə metrlə verilmişdir.

Vinin yerdəyişmə qanununa görə, insanın bədən temperaturuna (~310 K) malik qara cisim, spektrin infraqırmızı diapazonuna uyğun gələn təxminən 10 mkm dalğa uzunluğunda maksimum istilik şüalanmasına malikdir.

Qalıq şüalanmanın effektiv temperaturu 2,7 K və 1 mm dalğa uzunluğunda maksimuma çatır. Müvafiq olaraq, bu dalğa uzunluğu artıq radio diapazonuna aiddir.

• Erik Veyşteynin fizika dünyası (ing.)
• Soffer, B. H.; Lynch, D. K. Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision (ing.) // American Journal of Physics: journal. — 1999. — Vol. 67, no. 11. — P. 946–953. — doi:10.1119/1.19170. — Bibcode: 1999AmJPh..67..946S.
• Heald, M. A. Where is the 'Wien peak'? (ing.) // American Journal of Physics. — 2003. — Vol. 71, no. 12. — P. 1322–1323. — doi:10.1119/1.1604387. — Bibcode: 2003AmJPh..71.1322H.