1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

1 - 2 + 3 - 4 + ... — riyaziyyatda hədlərinin işarələri sırayla dəyişən, ardıcıl, müsbət ədədlərin əmələ gətirdiyi sonsuz silsilədir. Bu ardıcıllığın ilk m hədlərinin cəmi Siqma cəm düsturu istifadə edilərək aşağıdakı şəkildə ifadə edilə bilər:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}$

Bu sonsuz ardıcıllıq dağılandır, çünki hədlərinin məhdud (müəyyən həddə qədər olan) cəmləri (1, -1, 2, -2, ...) ixtiyari bir limit qiymətinə yaxınlaşa bilmir. Amma 18-ci əsrin ortalarında Leonard Eyler bir paradoks olduğunu qəbul etdiyi aşağıdakı bərabərliyi təqdim etmişdir:

${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}$

Buna müvafiq əhatəli bir izah çox sonralar verilə bilmişdir. 1890-cu ildən etibarən Ernesto Sezaro , Emil Borel və başqaları Eylerin cəhdlərinə yeni şərhlər verərək, dağılan ardıcıllıqların cəmləmə yolları üçün yaxşı formalaşdırılmış metodlar axtarışına başladılar. Bu cəmlənəbilmə üsullarının bir çoxu 1 - 2 + 3 - 4 + ... ardıcıllığının ¹⁄₄-ə bərabər olduğunu asanlıqla göstərə bilir. Sezaro cəmi isə bu ardıcıllığa bir qiymət aid etməyən azsaylı üsullardan biridir. Bu səbəblə də, bu ardıcıllıq Abel cəmi kimi daha qüvvətli bir üsulun istifadə olunmasına ehtiyac duyulan ardıcıllıqlara nümunədir.

1 - 2 + 3 - 4 + ... ardıcıllığı ilə Qrandi silsiləsi (1 - 1 + 1 - 1 + …) yaxın əlaqəlidir və Eyler tərəfindən ixtiyari bir n üçün 1 - 2ⁿ + 3ⁿ - 4ⁿ + ... ardıcıllığının xüsusi halları olaraq təyin edilmişlər. Bu münasibət Eylerin Bazel problemi üzərindəki tədqiqatlarını genişləndirən və həmçinin bu gün Dirixlet eta funksiyası ilə Rieman zeta funksiyası olaraq bilinən funksional bərabərliklərə istiqamətləndirən bir araşdırma sahəsi olmuşdur.

Ardıcıllığın hədləri (1, −2, 3, −4, …) həm + həm də − istiqamətdə 0-dan uzaqlaşdığı üçün, 1 − 2 + 3 − 4 + ... ardıcıllığı hədd testinə müvafiq olaraq dağılandır. Növbəti mövzular zamanı aydın olması baxımından, dağılan ardıcıllığa aid əsas anlayışlardan söz açmaq faydalı olardı. Riyazi baxımdan sonsuz bir ardıcıllığın yığılması və ya dağılma cəhətini, o ardıcıllığın məhdud (müəyyən həddə qədər olan) cəmləri sırasını yığılması və ya dağılması müəyyənləşdirir.

1 − 2 + 3 − 4 + ...-nin məhdud cəmləri isə belədir:^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

Bu məhdud cəm sıraları ixtiyari bir qiymətə yaxınlaşa bilmədiyini aydın şəkildə nümayiş etdirir, çünki təqdim oluna biləcək hər hansı bir x limiti üçün müəyyən bir nöqtədən sonra məhdud sıralardakı cəmlərin hamısının [x-1, x+1] intervalının xaricində olduğunu müəyyənləşdirə bilərik. Beləliklə, 1 − 2 + 3 − 4 + ... ardıcıllığı dağılandır.

Bu məhdud cəmlər sırasının hər bir tam ədədi əhatə etməsi də diqqətəlayiqdir, çünki bu hal ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tam ədədlər çoxluğunun sayıla bilən olduğunu göstərir.^[2]

1, −2, 3, −4, 5, −6, … hədləri sadə bir sıra əmələ gətirdiyi üçün, sürüşdürmə və hədbəhəd cəmləmə üsullarından istifadə edərək, 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığı hər hansısa yekun qiymət verəcək formaya gətirilə bilər. İxtiyari s ədədi üçün s = 1 − 2 + 3 − 4 + … bərabərliyi yazıla bilirsə, aşağıdakı tənzimləmələr s = ¹⁄₄ bərabərliyini göstərmiş olur:^[3]

4s = (1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)

   = (1-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1-2+(3-4+5-6+...)

   = (1-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)-1+(3-4+5-6+...)

   = (1+1-1)+(1-2-2+3)+(-2+3+3-4)+(3-4-4+5)+(-4+5+5-6)+...

   = (1)+(0)+(0)+(0)+(0)+...

   = 1

və

 s = 1⁄4

Bu nəticə sağdakı şəkildə qrafiki olarak göstərilmişdir.

1 − 2 + 3 − 4 + …-in sadə formada cəmi olmasa da, buna ən müvafiq gələn s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ bərabərliyi bunun təbii həlli olaraq təqdim oluna bilər. Dağılan bir ardıcıllığın "cəm"ini göstərən ümumiləşdirilmiş bir qayda cəmlənəbilmə üsulu olaraq adlandırılır. Bu üsul bütün mümkün dağılan ardıcıllıqların bəzi alt çoxluqlarını özündə birləşdirir. Bəzi alimlərin aşağıda göstərdiyi kimi, adi toplama ilə eyni olan xüsusiyyətlərinə görə təsvir edilən çoxlu müxtəlif üsul vardır. Yuxarıda göstərilmiş tənzimləmələrin əməldə isbat etdiyi isə budur: stabil və xətti olan ixtiyari bir cəm metodu ilə 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığı toplandığında, əldə olunan nəticə ¹⁄₄ olur.

Həmçinin bu üsul Qrandi silsiləsinin cəmini də 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂ olaraq hesablamalıdır:

2s = (1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)

   = 1+(-2+3-4+5-6+...)+1-2+(3-4+5-6+...)

   = (1+1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+...

   = (0)+(1)+(-1)+(1)+(-1)+...

   = 1-1+1-1+...

və

2s = 2 x 1⁄4 = 1⁄2  -dən

1-1+1-1+... = 1⁄2

1891-ci ildə Ernesto Sezaro dağılan ardıcıllıqların xüsusi metodlarla riyazi hesab əməllərinə aid edilə biləcəyinə dair fikir yürütmüş və bunu, "(1 − 1 + 1 − 1 + …)² = 1 − 2 + 3 − 4 + … bərabərliyinin mövcudluğu və bərabərliyin hər iki tərəfinin ¹⁄₄-ə bərabər olması onsuz da hər halda aydındır" deyə ifadə etmişdir.^[4]

Sezaroya görə bu bərabərlik əvvəlki il yayımlanan və ehtimal ki cəmlənəbilən dağılan ardıcıllar tarixinin ilk teoremi olaraq təyin edilməsi mümkün olan bir teoremin tətbiqi idi.

Onun cəm metodunun xüsusiyyətləri aşağıda təqdim edilmişdir; əsas fikir isə 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığının 1 − 1 + 1 − 1 + … və 1 − 1 + 1 − 1 + …-nin Kauçi hasilinə bərabər olduğudur.

İki sonsuz ardıcıllığın Kauçi hasili hər iki ardıcıllıq da dağılan olsa belə keçərli və doğru qəbul ediləndir. Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ şərti ödəndiyində Kauçi hasilinin hədləri sonlu çarpaz toplananlar ilə ifadə edilir.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}$

Beləliklə hasil ardıcıllığı

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }$

şəklində yazıla bilər.

Nəticə etibarı ilə iki ardıcıllığın Kauçi hasilini əsas götürən və 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂ cəmini hesablaya bilən toplama üsulu 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ qiymətini də alacaq. Əvvəlki bölmənin nəticələri ilə birlikdə bu 1 − 1 + 1 − 1 + … və 1 − 2 + 3 − 4 + …nin xətti, stabil və Kauçi hasilini əsas götürən üsullarla toplana bilmələri arasında bir eynilik olduğunu göstərir.

1 − 1 + 1 − 1 + … ardıcıllığı Sezaro metodunun ən ilkin forması ilə cəmlənəbiləndir və "(C, 1)-cəmlənəbilən" olaraq adlandırılır. 1 − 2 + 3 − 4 + … üçün isə bu teoremin daha güclü bir formasının tətbiq olunması lazım olduğu üçün ^[5] "(C, 2)-cəmlənəbilən" olaraq qəbul edilir. Sezaro teoreminin bütün formaları xətti və stabil olduğundan, əldə edilən cəmlər yuxarda hesablandığı kimidir.

Əgər mövcuddursa, 1 − 2 + 3 − 4 + … ifadəsinin (C, 1) Sezaro cəmini tapmaq üçün ardıcıllığın məhdud cəmlərinin ədədi ortalarını hesablamaq lazımdır. Məhdud cəmlər

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

olduğu halda, bu məhdud cəmlərin ədədi ortaları isə belədir:

1, 0, ²⁄₃, 0, ³⁄₅, 0, ⁴⁄₇, …

Bu ardıcıllıq yığılan olmadığı üçün, 1 − 2 + 3 − 4 + … Sezaro metodu ilə toplana bilməz.

Sezaro cəminin daha yaxşı bilinən iki ümumiləşdirilməsi vardır. Bunların anlama baxımından daha sadə n natural ədədləri üçün istifadə edilən (H, n) üsullar sırasıdır. (H, 1), Sezaro cəmini ifadə edir; daha yuxarı səviyyəli metodlarda da ədədi orta hesabları təkrarlanır. Yuxarıda əldə edilən ədədi ortalar silsiləsində cüt sıra nömrəli olanlar ¹⁄₂-yə yığıldığı halda, tək sıra nömrəli olanların hamısı sıfırdır.

Beləliklə, ortalamaların ortalaması, 0 və ¹⁄₂-nin ədədi ortası olan ¹⁄₄-ə yığılır.^[6]

Nəticə etibarı ilə 1 − 2 + 3 − 4 + …, (H, 2) üsulu ilə ¹⁄₄ olaraq cəmlənə bilir.

"H", Otto Hölder mənasına gəlir. Hölder riyaziyyatçıların bu gün Abel cəmi və (H, n) toplamı arasındakı əlaqə olaraq düşündükləri münasibəti 1882-ci ildə ilk dəfə sübut etmiş şəxsdir və 1 − 2 + 3 − 4 + …-ni də ilk nümunə olaraq təqdim etmişdir.^[7] 1 − 2 + 3 − 4 + …in (H, 2) cəminin ¹⁄₄-ə bərabər olması, bunun bir Abel cəmi olmasına da zəmanət verir. Bu münasibət aşağıda isbat ediləcəkdir.

Sezaro cəminin digər ümumiləşdirilməsi isə (C, n) üsullar silsiləsidir. (C, n) və (H, n) cəmlərinin eyni nəticə verdiyi sübuta yetirilmişdir, ancaq bu iki metod fərqli tarixi köklərə sahibdir. Sezaro 1887-ci ildə (C, n) cəmini müəyyənləşdirməyə çox yaxınlaşmış, amma məhdud sayda nümunələr göstərə bilmişdir. Onun reallaşdırdığı bu gün (C, n) olaraq adlandırıla biləcək, ancaq o zaman bu şəkildə təsdiq olunmamış bir üsulla 1 − 2 + 3 − 4 + … cəmini ¹⁄₄ olaraq hesablamaq olmuşdur.

(C, n) üsullarını 1890-cu ildə normalara uyğun şəkildə təyin edən Sezaro (C, n) cəmlənəbilən ardıcıllıq ilə (C, m) cəmlənəbilən ardıcıllığının Kauçi hasilinin (C, m + n + 1) cəmlənəbilən olduğunu iddia edən teoremini bu müəyyənləşdirməyə əsaslandırmışdır.^[8]

Leonard Eyler 1749-cu il tarixli bir yazısında bu ardıcıllığın dağılan olduğunu qəbul etsə də, onun cəmini hesablamağa çalışmışdır:

"1 − 2 + 3 − 4 + 5 - 6 + ... ardıcıllığı cəminin ¹⁄₄ olduğu iddia olunarsa, bu hal bir paradoks sayıla bilər. Çünki ardıcıllığın ilk 100 həddini toplasaq -50 nəticəsi alarıq, ilk 101 həddinin toplamı isə ¹⁄₄-dən olduqca fərqli olan +51-i verir və toplanan hədd sayı artdıqca da böyüyür. Daha öncəki tədqiqatlarımda da gördüm ki, cəm sözünə daha geniş bir məna qazandırmağımız lazımdır..."^[9]

Eyler, "cəm" sözünün bir ümumiləşdirilməsini bir çox dəfə məsləhət bilmişdir. Onun 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığına dair baxışları bu gün Abel ortalaması olaraq bilinən anlayışa çox oxşardır:

' 1 − 2 + 3 − 4 + 5 - 6 + ... ardıcıllığının cəminin ¹⁄₄ olduğuna artıq şübhə yoxdur, çünki ardıcıllıq qiymətinin ¹⁄₄ olduğu mübahisə edilməz olan ¹⁄_(1+1)² düsturunun açılımından qaynaqlanır. Bu ardıcıllığın ¹⁄_(1+x)² ifadəsinin açılımı olan 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + ... ümumi ardıcıllığına x=1 üçün bərabər olduğunun nəzərə alınması məsələni daha aydın açıqlayır. '^[10] Ən azından |x|<1 olan mütləq qiymətlər üçün Eylerin

1 − 2x + 3x² − 4x³ + ... = ¹⁄_(1+x)²

bərabərliyi məsələsində haqlı olduğu müxtəlif üsullarla görülə bilir. Bərabərliyin sağ tərəfinin Teylor açılımı alına və ya polinomlar üçün uzun bölmə əməli tətbiq edilə bilər.

Sol tərəfdən başlandığında, yuxarıda danışılan ümumi üsullar əsasında polinom (1+x) ilə iki dəfə vurula bilər ya da 1 − x + x² − …. həndəsi silsiləsinin kvadratı hesablana bilər. Həmçinin Eyler, bu son ardıcıllığın törəməsinin alınmasını da məsləhət görməyə meylli görsənir.^[11]

Modern baxışlara görə, 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … ardıcıllığı x=1 üçün hər hansısa bir funskiya təyin etmir. Bu səbəblə də bu qiymət, əldə edilən ifadədəkinin yerinə birbaşa qoyula bilməz. Funksiya bütün |x|<1 qiymətləri üçün təyin edilmiş olduğundan, x→1 (x 1-ə yaxınlaşdığında) üçün limit alına bilər və bu da Abel cəmini formalaşdırır:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}$

Eyler özü yaratdığı bir üsul olan Eyler çevrilməsini də bu ardıcıllığa tətbiq etmişdir. Eyler çevirməsini hesablamağa ardıcıllığı əmələ gətirən müsbət tam ədədlərin ardıcıllığı olan 1, 2, 3, 4, …-dən başlanılır; ardıcıllığın ilk elementi a₀ olaraq adlandırılır.

Sonra, 1, 2, 3, 4, …-ün elementləri arasındakı irəli fərqlərin ardıcıllığı hesablanmalıdır. Nəticə 1, 1, 1, 1, …-ə bərabərdir və bu ardıcıllığın ilk elementi isə Δa₀ olaraq adlandırılır.

Eyler çevirməsi, fərqlərin fərqləri və bənzər daha yüksək təkrarlara da əsaslanır, amma 1, 1, 1, 1, …-in bütün növbəti fərqləri sıfıra bərabərdir. Nəticə etibarı ilə, 1 − 2 + 3 − 4 + …-nın Eyler çevirməsi belə təyin edilir:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$ .

Beləliklə, müasir dövrün terminologiyası ilə 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığının Eyler cəminin ¹⁄₄ olduğu ifadə edilir.

Eyler cəmlənəbilərliyi, fərqli bir digər cəmlənə bilməyə də işarə edə bilir. 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığının

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}$

formasında ifadə edilməsi ilə, tamamilə yığılan olan

Analiz etmək alınmadı (SVG (MathML brauzer əlavəsi vasitəsilə aktivləşdirilə bilər): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/az.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x)}

ardıcıllığı əldə edilir. Beləliklə, 1 − 2 + 3 − 4 + … üçün Borel cəmi^[12]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

olaraq hesablanır.

Zayçev və Voyçinski, sadəcə iki fiziki qanun tətbiq edərək 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ bərabərliyini almışlar. Sonsuz kiçiklikdə sərbəstləşmə və miqyasların ayrılması adlı bu qanunlar, onları ardıcıllığı ¹⁄₄-ə toplayan geniş bir "φ-toplama metodları" ailəsini müəyyən etməyə yönləndirir:

• φ(x), ilk və ikinci törəməsi daimi olan və (0, ∞) aralığında inteqralı təyin edilmiş bir funksiya isə və φ(x) ilə xφ(x)'in +∞'dakı limitləri sıfıra bərabərdirsə,^[13]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}$

nəticəsi əldə edilir.

Bu nəticə, φ(x) əvəzinə exp(-x) (¹⁄_e^x) qoyularaq əldə edilə bilən Abel cəminin ümumiləşdirilməsidir. Ümumi ifadə ardıcıllığın hədlərinin m üzərində eyniləşdirilməsi və ifadənin Rieman inteqralına çevrilməsi ilə isbat edilə bilər. Sonrakı addımda 1 − 1 + 1 − 1 + … ardıcıllığının ümumi sübutu üçün için orta qiymət teoremi tətbiq edilir. Amma bu əməliyyat Teylor teoreminin daha güclü halı olan Laqranj formasına ehtiyac duyur.

1 − 1 + 1 − 1 + …-in üç qatlı Kauçi hasili olan 1 − 3 + 6 − 10 + …, üçbucaq ədədlərinin alternativ ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllığın Abel və Eyler toplamı ¹⁄₈-dir.^[14] 1 − 1 + 1 − 1 + …-in dört qatlı Kauçi hasili 1 − 4 + 10 − 20 + … isə tetraedik ədədlərin alternativ ardıcıllığıdır və Abel cəmi ¹⁄₁₆-dır.

1 − 2 + 3 − 4 + …-in bir az daha fərqli bir ümumiləşdirilməsi isə, n-in fərqli qiymətləri üçün 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … ardıcıllığıdır. Müsbətn tam ədədləri üçün bu ardıcıllığın Abel cəmi aşağıdakı kimidir: formuldakı B_n, Bernulli ədədlərini ifadə edir:^[15]

${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}$

n-in cüt qiymətləri üçün,

${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}$

ifadəsinə sadələşən bu cəm, Nils Abelə 1826-cı ildə belə rişxənd bəhsi olmuşdur:

"Dağılan ardıcıllıqlar tamamən şeytan işidir və birinin bu ardıcıllıqlara sübut axtarması utanc vericidir. Bunlardan istəniləni əldə etmək heç asan deyildir, amma bu günə qədər qarşılaşılan bir çox bədbəxtliyin və paradoksun səbəbkarı da bu ardıcıllıqlardır. n bir müsbət ədəd olmaq şərti ilə,

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + vs..

ifadəsindən daha dəhşət verən bir şey düşünülə bilərmi? Beləcə dostlar, bu həqiqətən gülüncdür."^[16]

Sezaronun müəllimi Eygene Çarlz Katalan da dağılan ardıcıllıqları sevməmişdir. Müəlliminin də təsiri ilə Sezaro əvvələr 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … üçün yaradılmış "ənənəvi" formulları "axmaq bərabərliklər" olarak qeyd etmiş və 1883-cü ildə də o zamanın tipik baxışları əsasında, bu düsturların yanlış olduğunu, lakin buna baxmayaraq işə yaradıqlarını demişdir. Nəhayət, 1890-cu ildə yazdığı Sur la multiplication des séries adlı əsərində lazımi qaydalara əsaslanan müasir bir münasibət ortaya qoymuşdur.^[17]

1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … ardıcıllığı n-in tam ədəd olmayan qiymətləri üçün də araşdırılmışdır, hansı ki, bunlar da Dirixlet eta funksiyasını əmələ gətirirlər. Eylerin 1 − 2 + 3 − 4 + … ilə əlaqəli ardıcıllıqlar üzərində tədqiqatlara yönəlməsinin bir səbəbi, eta funskiyasının birbaşa Rieman zeta funksiyası funksional bərabərliyinə yönləndirən bir funksional bərabərlik olmasıdır. Eyler, bu funksiyaların müsbət cüt tam ədədlər çoxluğundakı qiymətlərini Bazel problemini də daxil edə biləcək şəkildə tapması səbəbi ilə onsuz da məşhurlaşmışdı və eyni nailiyyəti Aperi sabitini də tərkibinə daxil edə biləcək şəkildə, müsbət tək tam ədədlər çoxluğu üçün də təkrar etməyə çalışırdı. Bu problem müasir dövrdə hələ də həll edilməmişdir. Eta funksiyası üzərində Eyler metodları ilə araşdırma aparmaq daha asandır, çünki bu funksiyanın Dirixlet seriyasını hər hansı bir kompleks ədəd üçün olan Abel üsulu ilə toplamaq mümkündür. Zeta funksiyasının Dirixlet seriyası isə dağılmağa başladığı nöqtədən etibarən daha çətin toplanır.^[18] Məsələn, 1 − 2 + 3 − 4 + … ardıcıllığının zeta funksiyasındakı qarşılığı, işarələri ardıcıl dəyişkənlik göstərməyən 1 + 2 + 3 + 4 + … ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllığın müasir fizikada önəmli tətbiq sahələri olsa da cəmlənməsi üçün daha güclü üsullara ehtiyac vardır.

• Qrandi silsiləsi (1 - 1 + 1 - 1 + ...)
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. (may 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J. (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. (Orjinal yayım: Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin, 17:83–106)
• Ferraro, Giovanni (iyun 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences, 54(2): 101–135. DOI 10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series, s. 8. Clarendon Press. Amerikan Konqresi Kitabxanası yoxlama nömrəsi 91-75377.
• Kline, Morris (noyabr 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine, 56(5):307-314.
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961.
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition. Hindustan Pub. Corp. Amerikan Konqresi Kitabxanası yoxlama nömrəsi 68-17528.
• Saichev, A.I. ve Woyczyński, W.A. (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1
• Tucciarone, John (Yanvar 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences, 10(1-2): 1-40. DOI 10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365.
• Weidlich, John E. (İyun 1950). Summability methods for divergent series. Stanford Master of Science dissertasiyası. Online kompüter kitabxanası mərkəzi: 38624384.