Bifurkasiya nəzəriyyəsi

Bifurkasiya nəzəriyyəsi (ing. Bifurcation theory) — bir sistemin parametrlərindəki kiçik dəyişikliklərin onun uzunmüddətli davranışını necə dəyişə biləcəyini araşdıran riyazi sahədir.^[1] Bu nəzəriyyə qeyri-xətti dinamik sistemlərdə kritik keçid nöqtələrini müəyyənləşdirmək üçün istifadə olunur və müxtəlif elmi sahələrdə, o cümlədən fizikada, biologiyada, mühəndislikdə və iqtisadiyyatda tətbiq edilir.^[2]

Bifurkasiya nəzəriyyəsi qeyri-xətti sistemlərin anlaşılmasında vacib vasitədir.^[3] Kiçik dəyişikliklərin böyük nəticələrə səbəb ola biləcəyi vəziyyətləri təhlil etmək üçün istifadə olunur. Sistemlərdə sabitlik və sabit nöqtələrin dəyişməsi, real dünyadakı dinamik proseslərin proqnozlaşdırılması və idarə olunmasında əsas rol oynayır.^[4]

1. Süngərsəl (ing. Pitchfork) Bifurkasiya — parametr müəyyən bir kritik həddə çatdıqda, bir sabit nöqtə iki yeni sabit nöqtəyə ayrılır.
   • İki növü var:
     • Sabitlik qorunan (superkritik): Yaranan yeni sabit nöqtələr sabit olur.
     • Sabitlik itən (subkritik): Yeni sabit nöqtələr sabit olmur.
2. Şeytan çarxı (Hopf) Bifurkasiya — sabit nöqtənin sabitliyi dəyişir və sistemdə dövr edən həllər yaranır (limit dövrələr).
3. Qəfil dəyişiklik (Səviyyəli) Bifurkasiya — parametrdə kiçik dəyişiklik, sistemdə ani və dramatik dəyişikliklərə səbəb olur.
4. Qatlanan (Fold) Bifurkasiya — iki sabit nöqtə birləşir və yox olur. Bu, sistemin sabit həllərdən qeyri-sabit həllərə keçidini ifadə edir.^[5]

Bifurkasiya nəzəriyyəsi adətən diferensial tənliklər və ya xətti olmayan xətti tənliklər vasitəsilə təsvir edilir. Tənlik forması:^[6]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\ f(x,\mu )}$

Burada:

• ${\displaystyle x}$ — sistem vəziyyətini təsvir edən dəyişən.
• ${\displaystyle \mu }$ — sistem parametri.
• ${\displaystyle \ f(x,\mu )}$ — dinamik funksiyanı təsvir edən tənlik.

Bifurkasiya baş verən nöqtələrdə ${\displaystyle \ f(x,\mu )}$ = 0 şərti təmin olunur və sabitlik analizi üçün funksiyanın törəmələri istifadə edilir.

• Guardia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, M. A. (2011). Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov Systems. "Journal of differential equations", Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, pp. 1967–2023. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
• Wiggins, Stephen. Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods. New York: Springer. 1988. ISBN 978-0-387-96775-2.
• Afrajmovich, V. S.; Arnold, V. I.; və b. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Springer. 1994. ISBN 978-3-540-65379-0.

• Nonlinear dynamics
• Bifurcations and Two Dimensional Flows by Elmer G. Wiens
• Introduction to Bifurcation theory by John David Crawford