Blek–Şoulz modeli

Blek–Şoulz opsion qiymət modeli (ing. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — Avropa opsionlarının nəzəri qiymətini müəyyən edən model, əgər əsas aktiv bazarda alınıb-satılırsa, onda onun üzərindəki opsionun qiyməti artıq bazarın özü tərəfindən dolayısı ilə müəyyən edilir. Bu model praktikada geniş şəkildə istifadə edilmişdir və digər şeylərlə yanaşı, varrantlar, konvertasiya edilə bilən qiymətli kağızlar da daxil olmaqla bütün törəmə alətləri qiymətləndirmək və hətta maliyyə cəhətdən asılı olan firmaların kapitalını qiymətləndirmək üçün də istifadə edilə bilər.

Blek — Şoulz modelinə görə, opsionun dəyərinin müəyyən edilməsində əsas element əsas aktivin gözlənilən dəyişkənliyidir. Aktivin dəyişməsindən asılı olaraq onun qiyməti artır və ya azalır ki, bu da birbaşa mütənasib olaraq opsionun dəyərinə birbaşa təsir göstərir. Beləliklə, əgər opsionun dəyəri məlumdursa, bazarın gözlədiyi volatillik səviyyəsini müəyyən etmək mümkündür^[1].

Opsion qiymət modelinin düsturu ilk dəfə 1973-cü ildə Fişer Blek və Mayron Şoulz tərəfindən "The Pricing of Opsions and Corporate Pasifities" kitabında işlənib hazırlanmışdır. Onların araşdırmaları Cek Treynor, Pol Samuelson, Ceyms Bons, Şin Kassuf və Edvard Torp tərəfindən əvvəlki işlərə əsaslanır və opsion ticarətinin sürətli böyüməsi dövründə hazırlanmışdır.

Blek və Şoulz opsion qiymət modelini əldə etmək üçün aşağıdakı fərziyyələri irəli sürdülər:

• Qiymətli kağızlar (əsas aktiv) davamlı olaraq alqı-satqıya məruz qalır və onların qiymət davranışı məlum parametrlərə malik həndəsi Brown hərəkət modelinə uyğundur (xüsusilə, bu parametrlər opsionun bütün müddəti ərzində sabitdir).
• Opsionun əsas aktivi opsionun müddəti ərzində dividend ödəmir.
• Səhm və ya opsionun alınması və ya satışı ilə bağlı heç bir əməliyyat xərcləri yoxdur.
• Qısamüddətli risksiz faiz dərəcəsi məlumdur və opsionun ömrü boyu sabitdir.
• Qiymətli kağızın istənilən alıcısı onun qiymətinin istənilən hissəsini ödəmək üçün qısamüddətli risksiz faizlə borc ala bilər.
• Qısa satışa məhdudiyyət olmadan icazə verilir və satıcı qısaldılmış təhlükəsizlik üçün bütün nağd pulu bugünkü qiymətlə dərhal alacaq.
• Arbitraj imkanı yoxdur.

Modelin nəticəsi risksiz hedcinq konsepsiyasına əsaslanır. Səhmləri almaq və eyni zamanda həmin səhmlər üzrə çağırış opsionlarını satmaqla, investor səhmlər üzrə mənfəətin opsionlar üzrə itkiləri tam olaraq kompensasiya edəcəyi və əksinə risksiz mövqe qura bilər.

Risksiz hedcinq edilmiş mövqe, risksiz faiz dərəcəsinə bərabər nisbətdə gəlir əldə etməlidir, əks halda arbitraj imkanı yaranar və bu fürsətdən istifadə etməyə çalışan investorlar opsionun qiymətini modeli ilə müəyyən edilərək tarazlıq səviyyəsinə gətirərlər.

call opsion qiyməti:

${\displaystyle C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),}$ burada

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}},}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}.}$

put opsion qiyməti:

${\displaystyle P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).}$

burada,

• ${\displaystyle C}$ — call opsion qiyməti;
• ${\displaystyle S}$ — əsas aktivin cari qiyməti (spot);
• ${\displaystyle N(x)}$ standart normal paylanmanın kumulyativ paylanma funksiyasıdır;
• ${\displaystyle X}$ — opsion icra qiyməti (tətil);
• ${\displaystyle r}$ — risksiz faiz dərəcəsi;
• ${\displaystyle T}$ — variantın bitməsinə qədər vaxt;
• ${\displaystyle \sigma }$ — əsas aktivin qaytarılması dəyişkənliyi.

Opsionun qiymətinin (mükafatının) müəyyən dəyərlərdəki dəyişikliyə həssaslığını xarakterizə etmək üçün "yunanlar" adlanan müxtəlif əmsallardan istifadə olunur. Adı yunan əlifbasından gəlir, hərfləri bu əmsalları ifadə edir ("veqa" istisna olmaqla). Blek — Şoulz modeli çərçivəsində "yunanlar" açıq şəkildə hesablanır:

"Yunan"	Qismən törəmə təmsili	call opsion	put opsion
delta	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial S}}}$	${\displaystyle N(d_{1})}$	${\displaystyle -N(-d_{1})=N(d_{1})-1}$
qamma	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T}}}}}$
veqa[2][3]	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial \sigma }}}$	${\displaystyle SN'(d_{1}){\sqrt {T}}}$
teta	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}-rKe^{-r(T)}N(d_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})}$
ro[3]	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial r}}}$	${\displaystyle K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})}$	${\displaystyle -K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})}$

Diqqətəlayiqdir ki, qamma və veqa düsturları putlar və çağırışlar üçün eynidir, bu, putların və çağırışların paritet nəzəriyyəsinin məntiqi nəticəsidir.

Məsələn, "delta" ${\displaystyle \Delta }$ və "qamma" ${\displaystyle \Gamma }$ əmsallarını bilmək ${\displaystyle \delta c}$ opsionunun qiymətindəki (mükafat) dəyişikliyi təxmin etməyə imkan verir. Maliyyə alətinin qiyməti dəyişdikdə ${\displaystyle \delta S}$ opsionun əsasını təşkil edir:

${\displaystyle \delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.}$

Bu düstur opsion qiymətini ${\displaystyle c(S)}$ Teylor sırasına genişləndirməklə əldə edilir. Eynilə, teta nə qədər böyükdürsə, opsionun vaxt itirilməsi bir o qədər tez olur və s.

• Black, Fischer; Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. 81 (Journal of Political Economy). 1973. 637–654. [1]
• Merton, Robert C. Theory of Rational Option Pricing. 4 (Bell Journal of Economics and Management Science). The RAND Corporation. 1973. 141–183.
• John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall. 1997. ISBN 0-13-601589-1.