Eyler çevrilməsi
Eyler çevrilməsi — nəticə verə bilən funksiyalar arasındakı əlaqə, bəzi hallarda Eyler çevrilməsi olaraq adlandırılır. İki fərqli formada var olan çevrilmə, ardıcıl silsilələrin yığılmasını sürətləndirə bilir. Başqa bir deyimlə,
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Δ
n
a
0
2
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}
ifadəsində x yerinə 1/2 qoyularaq 1 əldə edilə bilir. Sağdakı elementlər çox sürətli şəkildə kiçildikləri üçün bu cəm asanlıqla hesablana bilir.
Eyler çevrilməsi aşağıdakı formada ümumiləşdirilə bilər:
p = 0, 1, 2, … üçün
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
p
n
)
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
p
n
)
Δ
n
a
0
2
n
+
p
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}}
bərabərliyi təmin edilir.
Eyler çevrilməsi
2
F
1
{\displaystyle \,_{2}F_{1}}
hipergeometrik silsiləsinə sıxlıqla tətbiq edilir. Bu halda Eyler çervilməsi
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
b
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}
olaraq ifadə edilə bilir.
Binom çevrilməsi və bunun fərqli bir tətbiqi olan Eyler çevrilməsi bir ədədin daimi kəsr olaraq ifadə edilməsində böyük əhəmiyyət daşıyır.
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
ədədinin daimi kəsr ifadəsinin
x
=
[
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}
olduğu güman edilərsə, burdan
x
1
−
x
=
[
0
;
a
1
−
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}
və
x
1
+
x
=
[
0
;
a
1
+
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]}
nəticələri alınır.
Furye çevrilməsi
Furye çevrilməsi — fizika və mühəndislikdə tətbiq olunan riyazi çevrilmədir. Adətən zamandan aslı olan f(t) funksiyasının tezlikdən aslı və çox vaxt
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
şəklində işarə olunan funksiyaya çevrilməsidir.
Koordinatların çevrilməsi
Koordinatların çevrilməsi bir koordinat sistemindən digərinə keçmə. Koordinatların çevrilməsi məsələsi
M
{\displaystyle M}
nöqtəsinin bir koordinat sistemində koordinatlarını bildikdədigər koordinat sistemində onun koordinatlarını tapmaqdan ibarətdir.
M
{\displaystyle M}
nöqtəsinin yeni və köhnə koordinatları arasında əlaqə düsturları koordinatların çevrilməsi düsturları adlanır.
Beləliklə,
x
O
y
{\displaystyle xOy}
Dekart koordinat sistemindən
x
′
O
′
y
′
{\displaystyle x'O'y'}
Dekart koordinat sisteminə keçid düsturları aşağıdakılardır:
x
′
=
(
x
−
x
0
)
cos
α
+
(
y
−
y
0
)
sin
α
{\displaystyle x'=(x-x_{0})\cos \alpha +(y-y_{0})\sin \alpha }
y
′
=
−
(
x
−
x
0
)
sin
α
+
(
y
−
y
0
)
cos
α
{\displaystyle y'=-(x-x_{0})\sin \alpha +(y-y_{0})\cos \alpha }
Burada
x
0
,
y
0
−
O
′
{\displaystyle x_{0},y_{0}-O'}
nöqtəsinin
x
O
y
{\displaystyle xOy}
koordinat sistemində koordinatları,
α
{\displaystyle \alpha }
isə
O
x
{\displaystyle Ox}
və
O
′
x
′
{\displaystyle O'x'}
düz xətləri arasındakı bucaqdır. Əksinə keçid düsturları isə aşağıdakılardır.
x
=
x
′
cos
α
−
y
′
sin
α
+
x
0
{\displaystyle x=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha +x_{0}}
y
=
x
′
sin
α
+
y
′
cos
α
+
y
0
{\displaystyle y=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha +y_{0}}
Dwzbucaqlı koordinat sistemindən polyar koordinat sisteminə keçmək üçün koordinatların çevrilməsi düsturları aşağıdakılardır.(absis oxunun müsbət yarımoxu polyar yarımoxla üst-üstə düşür).
ρ
=
x
2
+
y
2
,
sin
φ
=
y
ρ
,
cos
x
=
x
ρ
{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\sin \varphi ={\frac {y}{\rho }},\cos x={\frac {x}{\rho }}}
Əksinə keçid isə aşağıdakı düsturlarla həyata keçirilir.
x
=
ρ
cos
φ
,
y
=
ρ
sin
φ
{\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,y=\rho \sin \varphi }
1. M.Mərdanov, S.Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti. Bakı 2016, "Radius nəşriyyatı", 296 səh.