Analitik həndəsə

Analitik həndəsə- həndəsə bölməsi; nöqtə, düz xətt, müstəvi, vektor, ikitərtibli xətt, ikitərtibli səth və onlara dair məsələləri öyrənir. Həndəsi işə Cəbriyyə analizi tətbiq edən və Cəbriyyə problemlərin həllində həndəsi anlayışları istifadə edən bir riyaziyyat sahəsi. Rene Dekart cəbr və həndəsəni birləşdirən analitik həndəsənin ixtiraçısıdır. Əsas tədqiqat vasitələri koordinat üsulu və cəbri üsullardır. Koordinat üsulu 17-ci əsrdə astronomiya, mexanika və texnikanın sürətli inkişafı ilə əlaqədar yaradılmışdır. Müasir dövrdə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindən başqa daha ümumi olan afin koordinat sistemi və digər koordinat sistemlərindən istifadə edilir. Düz xətt üzərində nöqtənin bir, müstəvi üzərində iki (x – absis, y – ordinat), fəzada isə üç (x – absis, y – ordinat, z – aplikat) koordinatı olur. Müstəvi üzərində xətt koordinatları f(x,y)=0 tənliyini ödəyən nöqtələr çoxluğu kimi tərif olunur. f(x,y) funksiyası x və y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli çoxhədli olarsa, f(x,y)=0 xəttinə n tərtibli cəbri xətt deyilir. Analitik həndəsədə bir və ikitərtibli cəbri xətlər öyrənilir. Müstəvi üzərində düz xəttin tənliyi Ax+By+C=0 şəklindədir (A2+B2≠0). x və y bu düz xətt üzərindəki ixtiyari nöqtənin Dekart (və ya afin) koordinatlarıdır. Müstəvi üzərində düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyətlərinə dair məsələlər onların tənliklərinin tədqiqinə gətirilir. Müstəvi üzərində ikitərtibli xətt Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1) tənliyi ilə ifadə olunur. Onun tipi və koordinat sisteminə nəzərən vəziyyəti (I)- in əmsallarına görə təyin edilir. Koordinat sisteminin çevrilməsi nəticəsində (I) əyrisi ellips, hiperbola, parabola, xəyali ellips,bir cüt kəsişən həqiqi və ya xəyali düz xətt, bir cüt üst-üstə düşən və ya düşməyən paralel düz xətlərdən birinə gətirilir. Fəzada koordinatları f (x,y,z)=0 tənliyini ödəyən nöqtələr çoxluğuna səth deyilir. f (x,y,z) funksiyası x,y,z koordinatlarına nəzərən n dərəcəli çoxhədlidirsə, f (x,y,z)=0 səthi n tərtibli cəbri səth adlanır. Anaklitik həndəsədə bir və ikitərtibli səthlər öyrənilir. Fəzada birtərtibli səth, yəni müstəvi Ax+By+Cz+D=0, ikitərtibli səth isə Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz++Fyz+Gx+Hy+Mz+N=0 (2) tənliyi ilə ifadə olunur (A2+B2+C2≠0). Fəzada xətt iki səthin kəsişməsi, düz xətt isə iki müstəvinin kəsişməsi kimi verilir. Fəzada düz xəttin kanonik tənliyi x-a/m=y-b/n=z-c/p şəklindədir. a,b,c düz xətt üzərindəki verilmiş nöqtənin, m,n,p onun istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarıdır. Koordinat sisteminin çevrilməsindən istifadə edərək (2) səthi aşağıdakı səthlərdən birinə gətirilir: ellipsoid, xəyali ellipsoid, bir və ikioyuqlu hiperboloidlər, həqiqi və xəyali konuslar, elliptik, hiperbolik və xəyali elliptik silindrlər, elliptik və hiperbolik paraboloidlər, parabolik silindr, bir cüt xəyali kəsişən və paralel müstəvilər, bir cüt kəsişən müstəvi, bir cüt həqiqi paralel müstəvi, üst-üstə düşən müstəvilər. Analitik həndəsələrdə öyrənilən həndəsi obrazlardan mexanika, bərk cism fizikası, nəzəri fizika və mühəndis işlərində geniş istifadə edilir.

Müstəvi üzərində düz xətlər dəstəsi, onun tənliyi

Tutaq ki, müstəvi üzərində A1x  B1 y  C1  0 və A2 x  B2 y  C2  0 ümumi

tənlikləri ilə d1

və d2

düz xətləri verilmişdir. d1

və d2

düz xətlərinin

tənliklərinin sol tərəflərindən istifadə etməklə aşağıdakı tənliyi tərtib edək:

A1x  B1 y  C1  A2 x  B2 y  C2   0 , (1)

burada , eyni vaxtda sıfra bərabər olmayan ixtiyari həqiqi ədədlərdir. (1)

tənliyi ilə müəyyən d düz xətti təyin olunur. d1

və d2

düz xətlərinin qarşılıqlı

vəziyyəti ilə bağlı aşağıdakı mümkün hallara baxaq.

1) Tutaq ki, d1

və d2

düz xətləri müəyyən ( , ) 0 0 0 M x y nüqtəsində

kəsişirlər. Aşkardır ki, d düz xətti də ( , ) 0 0 0 M x y nüqtəsindən keçər. ,

dəyişənlərinə ixtiyari qiymətlər verməklə ( , ) 0 0 0 M x y nüqtəsindən keçən

sonsuz sayda düz xətlər çoxluğunu alarıq. Bu çoxluğa müstəvi üzərində düz

xətlərin məxsusi dəstəsi deyilir. ( , ) 0 0 0 M x y nüqtəsi isə bu düz xətlər

dəstəsinin mərkəzi adlanır.

2) Tutaq ki, // , d1 d2

yəni d1

və d2

düz xətləri paraleldirlər. Asanlıqla

yoxlanılır ki, bu halda (1) tənliyi ilə təyin olunan d düz xətti d1

və d2

düz

xətlərinin hər birinə parallel olur. Ona görə də , dəyişənlərinə ixtiyari

qiymətlər verməklə d1

və d2

düz xətlərinin hər birinə parallel olan sonsuz

sayda düz xətlər çoxluğunu alarıq. Bu çoxluğa müstəvi üzərində düz xətlərin

qeyri-məxsusi dəstəsi deyilir.

(1) tənliyi düz xətlər dəstəsinin tənliyi adlanır. Müəyyənlik üçün,   0

olduğunu qəbul edək. Onda (1) tənliyi

1 1 C1 A x  B y   1A2 x  B2 y  C2   0 (2)

şəklində yazılar, burada





1  işarə olunmuşdur.

(2) tənliyindən müəyyən edirik ki, düz xətlər dəstəsi birparametrli

çoxluqdur.

Х Mühazirə

Ellips və hiperbola

Müstəvi üzərində verilmiş F1 və F2 nöqtələrindən məsafələri cəmi verilmiş PQ

parçasının uzunluğuna bərabər olan bütün nöqtələr çoxluğuna PQ>F1F2 şərti daxilində ellips

Həmçinin bax

• Differensial (riyaziyyat)
• Xətti cəbr

Xarici keçidlər

• Koordinat Həndəsə mövzuları interaktiv animasiyalar ilə

İstinadlar

• Katz, Victor J., A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, 1998, ISBN 0-321-01618-1