Çoxluq nəzəriyyəsi

Çoxluqlar nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində ${\displaystyle a\in A}$ münasibəti o deməkdir ki, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə ${\displaystyle a\notin A}$ kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ çoxluğunun elementi deyil.

Bir çoxluq ${\displaystyle A}$ digər çoxluğun ${\displaystyle B}$ o vaxt altçoxluğu adlanır ki, ${\displaystyle A}$ çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də ${\displaystyle B}$ çoxluğunun elementi olsun.

${\displaystyle B}$ o zaman ${\displaystyle A}$-nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

$${\displaystyle {A}\subseteq {B}:\Longleftrightarrow \forall x\left({x}\in A\rightarrow x\in B\right)}$$.

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

${\displaystyle A=B:\Longleftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\leftrightarrow x\in B\right)}$

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O ${\displaystyle \varnothing }$ və ya ${\displaystyle \{\}}$ ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: ${\displaystyle \emptyset }$ və ${\displaystyle \{\emptyset \}}$ müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

${\displaystyle \emptyset _{A}=\{x\in A\mid \forall x\notin A\}}$

${\displaystyle \emptyset _{A}}$ — A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar

A və B çoxluqlarının hər ikisinə eyni zamanda daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların kəsişməsi deyilir:

Bir qeyri-xətti ${\displaystyle U}$ çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

${\displaystyle \bigcap U:=\{x\mid \forall a\in U:x\in a\}}$

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:

${\textstyle \bigcap U:=\{x\mid \forall x\notin A\}}$.

• Николя Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики. Элементы математики. М: Издательство иностранной литературы. Башмакова, Изабелла Григорьевна (перевод с французского). 1963. 37–53.
• Г. Кантор. Труды по теории множеств. Классики науки (3450 nüs.). М.: Наука. 1985..
• Коэн, Пол Джозеф. Об основаниях теории множеств (PDF). XXIX (Успехи математических наук). М. Манин, Юрий Иванович (перевод). 1974 [P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15.] 169–176.
• Куратовский, Казимир, Мостовский, Анджей. Теория множеств. М.: Мир. Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. 1970.
• Медведев, Фёдор Андреевич. Развитие теории множеств в XIX веке (2500 nüs.). М.: Наука. 1965.
• Френкель, Адольф, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств. М.: Мир. Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич. 1966.