yarımqrup

Əgər G çoxluğunda onun ixtiyari iki a və b elementinə qarşı həmin çoxluğun hər hansi c elementinə qarşı qoyan əməl mövcuddursa və bu əmələ nəzərən assosiativlik ödənərsə onda G çoxluğu yarımqrup adlanır. Əgər yarımqrup özündə vahid element saxlayarsa belə yarımqrup monoid adlanır.

Yalnız bir binar cəbri əməlin təyin edildiyi cəbri strukturaya qruppoid deyilir; deməli, qruppoid üçün ⊗ {\displaystyle \otimes } əməlinə nəzərən aşağıdakı şərt ödənməlidir: ∀ ( a , b ∈ M ) {\displaystyle \forall (a,b\in M)} ∃ ! ( c ∈ M ) {\displaystyle \exists !(c\in M)} ( a ⊗ b = c ) . {\displaystyle (a\otimes b=c).} Qruppoiddə bu şərtdən əlavə assosiativlik xassəsinə aid ∀ ( a , b , c ∈ M ) {\displaystyle \forall (a,b,c\in M)} [ a ⊗ ( b ⊗ c ) = ( a ⊗ b ) ⊗ c ] {\displaystyle [a\otimes (b\otimes c)=(a\otimes b)\otimes c]} aksiomu da ödənərsə, buna yarımqrup deyilir. Deməli, yarımqrup elə cəbri strukturdur ki, orada iki şərt ödənir: 1) ⊗ {\displaystyle \otimes } əməlinin təyin edilməsi; 2) bu əməlin assosiativlik xassəsinə malik olması. Cəbrə aid ədəbiyyatda bəzən yarımqrup əmələ gətirən M {\displaystyle M} çoxluğunu məhz assosiativ qruppoid adlandırırlar. Xüsusi şərtləşmə olmadıqda qruppoiddə təyin edilən ⊗ {\displaystyle \otimes } kompozisiyası adətən vurma əməli kimi qəbul edilir və bu < Γ , ⋅ > {\displaystyle <\Gamma ,\cdot >} kimi işarə edilir. Lakin bəzən təyin edilən ⊗ {\displaystyle \otimes } cəbri əməli toplama kimi də qəbul edilir. Vurma əməlinə nəzərən qruppoidə multiplikativ, toplama əməlinə nəzərən qruppoidə isə additiv qruppoid deyirlər. Sonrakı mühakimələrimizi adətən multiplikativ qruppoid, yarımqruplar üzərində aparmağı şərtləşək. Əgər qruppoiddə və yarımqrupda əlavə bir aksiom — vurmada kommutativlik xassəsi ( a b = b a ) {\displaystyle (ab=ba)} ödənərsə, onda uyğun olaraq bunları kommutativ qruppoid və kommutativ yarımqrup adlandırırlar.