Determinant
Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş.
Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir.
Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır.
2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}
Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
=
a
|
◻
◻
◻
◻
e
f
◻
h
i
|
−
b
|
◻
◻
◻
d
◻
f
g
◻
i
|
+
c
|
◻
◻
◻
d
e
◻
g
h
◻
|
=
a
|
e
f
h
i
|
−
b
|
d
f
g
i
|
+
c
|
d
e
g
h
|
=
a
e
i
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
i
−
a
f
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}
Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər.
== Xassələri ==
Determinantın xassələri:
Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz.
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur.
Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.
Qram determinantı
n
{\displaystyle n}
-ölçülü
U
{\displaystyle U}
unitar fəzanın
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
vektorlarının
(
x
i
,
x
j
)
{\displaystyle (x_{i},x_{j})}
skalyar hasillərindən düzəldilən
n
{\displaystyle n}
Γ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
|
(
x
1
,
x
1
)
(
x
1
,
x
2
)
…
(
x
1
,
x
n
)
(
x
2
,
x
1
)
(
x
2
,
x
2
)
…
(
x
2
,
x
n
)
…
…
…
…
(
x
n
,
x
1
)
(
x
n
,
x
2
)
…
(
x
n
,
x
n
)
|
{\displaystyle \Gamma (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1},x_{1})&(x_{1},x_{2})&\ldots &(x_{1},x_{n})\\(x_{2},x_{1})&(x_{2},x_{2})&\ldots &(x_{2},x_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\(x_{n},x_{1})&(x_{n},x_{2})&\ldots &(x_{n},x_{n})\\\end{vmatrix}}}
determinantına
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
vektorlarının Qram determinantı deyilir.
Determinantın əsas xassələri
Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş.
Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir.
Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır.
2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}
Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
=
a
|
◻
◻
◻
◻
e
f
◻
h
i
|
−
b
|
◻
◻
◻
d
◻
f
g
◻
i
|
+
c
|
◻
◻
◻
d
e
◻
g
h
◻
|
=
a
|
e
f
h
i
|
−
b
|
d
f
g
i
|
+
c
|
d
e
g
h
|
=
a
e
i
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
i
−
a
f
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}
Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər.
== Xassələri ==
Determinantın xassələri:
Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz.
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur.
Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.
Determinantların vurulması
n-tərtibli iki
D
1
{\displaystyle D_{1}}
və
D
2
{\displaystyle D_{2}}
determinantlarının verildiyini fərz edək:
D
1
=
|
a
11
a
12
…
a
1
j
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
j
…
a
2
n
…
…
…
…
…
…
a
i
1
a
i
2
…
a
i
j
…
a
i
n
…
…
…
…
…
…
a
n
1
a
n
2
…
a
n
j
…
a
n
n
|
{\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nj}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
,
D
2
=
|
b
11
b
12
…
b
1
j
…
b
1
n
b
21
b
22
…
b
2
j
…
b
2
n
…
…
…
…
…
…
b
i
1
b
i
2
…
b
i
j
…
b
i
n
…
…
…
…
…
…
b
n
1
b
n
2
…
b
n
j
…
b
n
n
|
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1j}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2j}&\ldots &b_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{i1}&b_{i2}&\ldots &b_{ij}&\ldots &b_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{n1}&b_{n2}&\ldots &b_{nj}&\ldots &b_{nn}\\\end{vmatrix}}}
Məqsədimiz bu iki determinantın hasilini yeni bir -tərtibli determinant şəklində axtarmaqdır. Bunun üçün determinantların vurulma qaydası var ki, bu da aşağıdakı teoremə əsaslanır:
TEOREM: n-tərtibli iki
D
1
{\displaystyle D_{1}}
və
D
2
{\displaystyle D_{2}}
determinantlarının hasili elə bir
n
{\displaystyle n}
-tərtibli
D
{\displaystyle D}
determinantına bərabərdir ki,
D
{\displaystyle D}
-nin ixtiyari
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
elementi
D
1
{\displaystyle D_{1}}
-in
i
{\displaystyle i}
-ci sətir elementləri ilə
D
2
{\displaystyle D_{2}}
-nin
j
{\displaystyle j}
-ci sütununun uyğun elementlərinin hasilləri cəmindən ibarətdir, yəni:
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
+
a
i
n
b
n
j
,
(
i
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
.
{\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}++a_{in}b_{nj},(i,j=1,2,...,n).}
(1)
Burada
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
elementi hasil
D
{\displaystyle D}
determinantının ixtiyari elementidir.
Ədəbiyyat
Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
Кострикин А. И. Введение в алгебру.