Determinant
Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş.
Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir.
Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır.
2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}
Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
=
a
|
◻
◻
◻
◻
e
f
◻
h
i
|
−
b
|
◻
◻
◻
d
◻
f
g
◻
i
|
+
c
|
◻
◻
◻
d
e
◻
g
h
◻
|
=
a
|
e
f
h
i
|
−
b
|
d
f
g
i
|
+
c
|
d
e
g
h
|
=
a
e
i
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
i
−
a
f
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}
Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər.
== Xassələri ==
Determinantın xassələri:
Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz.
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur.Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.
İki sətri (və yaxud olan sütunu)eyni determinant sıfıra bərabərdir (Laplas teoreminə görə determinantda bir sətir (və ya sütun) elementlərinin ortaq vuruğu varsa onu determinant xaricinə çıxartmaq olar
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, bir sətri (və ya sütun) sıfır olan deterinant sıfıra bərabərdir.Determinantın bir sətir elementlərini bir ədədə vurub başqa sətir elementləri ilə toplasaq determinantın qiyməti dəyişməz.
Qram determinantı
n
{\displaystyle n}
-ölçülü
U
{\displaystyle U}
unitar fəzanın
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
vektorlarının
(
x
i
,
x
j
)
{\displaystyle (x_{i},x_{j})}
skalyar hasillərindən düzəldilən
n
{\displaystyle n}
determinantına
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
vektorlarının Qram determinantı deyilir.
Determinantın əsas xassələri
Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş.
Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir.
Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır.
2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}
Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı:
|
A
|
=
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
=
a
|
◻
◻
◻
◻
e
f
◻
h
i
|
−
b
|
◻
◻
◻
d
◻
f
g
◻
i
|
+
c
|
◻
◻
◻
d
e
◻
g
h
◻
|
=
a
|
e
f
h
i
|
−
b
|
d
f
g
i
|
+
c
|
d
e
g
h
|
=
a
e
i
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
i
−
a
f
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}
Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər.
== Xassələri ==
Determinantın xassələri:
Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz.
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur.Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.
İki sətri (və yaxud olan sütunu)eyni determinant sıfıra bərabərdir (Laplas teoreminə görə determinantda bir sətir (və ya sütun) elementlərinin ortaq vuruğu varsa onu determinant xaricinə çıxartmaq olar
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, bir sətri (və ya sütun) sıfır olan deterinant sıfıra bərabərdir.Determinantın bir sətir elementlərini bir ədədə vurub başqa sətir elementləri ilə toplasaq determinantın qiyməti dəyişməz.
Determinantların vurulması
n-tərtibli iki
D
1
{\displaystyle D_{1}}
və
D
2
{\displaystyle D_{2}}
determinantlarının verildiyini fərz edək:
D
1
=
|
a
11
a
12
…
a
1
j
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
j
…
a
2
n
…
…
…
…
…
…
a
i
1
a
i
2
…
a
i
j
…
a
i
n
…
…
…
…
…
…
a
n
1
a
n
2
…
a
n
j
…
a
n
n
|
{\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nj}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
,
D
2
=
|
b
11
b
12
…
b
1
j
…
b
1
n
b
21
b
22
…
b
2
j
…
b
2
n
…
…
…
…
…
…
b
i
1
b
i
2
…
b
i
j
…
b
i
n
…
…
…
…
…
…
b
n
1
b
n
2
…
b
n
j
…
b
n
n
|
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1j}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2j}&\ldots &b_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{i1}&b_{i2}&\ldots &b_{ij}&\ldots &b_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{n1}&b_{n2}&\ldots &b_{nj}&\ldots &b_{nn}\\\end{vmatrix}}}
Məqsədimiz bu iki determinantın hasilini yeni bir -tərtibli determinant şəklində axtarmaqdır. Bunun üçün determinantların vurulma qaydası var ki, bu da aşağıdakı teoremə əsaslanır:
TEOREM: n-tərtibli iki
D
1
{\displaystyle D_{1}}
və
D
2
{\displaystyle D_{2}}
determinantlarının hasili elə bir
n
{\displaystyle n}
-tərtibli
D
{\displaystyle D}
determinantına bərabərdir ki,
D
{\displaystyle D}
-nin ixtiyari
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
elementi
D
1
{\displaystyle D_{1}}
-in
i
{\displaystyle i}
-ci sətir elementləri ilə
D
2
{\displaystyle D_{2}}
-nin
j
{\displaystyle j}
-ci sütununun uyğun elementlərinin hasilləri cəmindən ibarətdir, yəni:
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
+
a
i
n
b
n
j
,
(
i
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
.
{\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}++a_{in}b_{nj},(i,j=1,2,...,n).}
(1)
Burada
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
elementi hasil
D
{\displaystyle D}
determinantının ixtiyari elementidir.
Ədəbiyyat
Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
Кострикин А. И. Введение в алгебру.