Diferensial hesabı
Diferensial hesabı — riyaziyyatın funksiyaların xassələrini törəmə və diferensiallar vasitəsilə öyrənən bölməsi. D.h. mahiyyəti ondan ibarətdir ki, funksiyanın lokal (ayrı-ayrı nöqtələrin ətrafındakı) xassələrini araşdırmaqla onun xassələrini bütövlükdə təsvir etsin. D.h. bəzi məsələlərinə hələ qədim yunan riyaziyyatçıları diqqət yetirmişlər. D.h. bir çox məsələləri öz həllini, həm də yüksək səviyyədə, fransız riyaziyyatçıları R. Dekartın, P. Fermanın və başqalarının işlərində tapmışdır.
Amma buna baxmayaraq diferensial hesabının əsasını qoyanlar ingilis alimi İssak Nyuton və alman alimi H. Leybnis hesab edilir. Onların işlərində diferensial hesabının əsas anlayışları olan törəmə və diferensial anlayışları verilmişdir. Bu anlayışların əsasında limit anlayışı durur.
Diferensial həndəsə
Oriyentasiya anlayışını bazis vektorların köməyi ilə müəyyən etmişdir.Lakin oriyentasiya anlayışı sırf topoloji termindir.Çoxobrazlının oriyentasiyasını müəyyən etmək üçün onun hər hansı k şəbəkəli ayrılışına baxaq. Əvvəlcə hər hansı şəbəkəni oriyentasiyalaq. Fərz edək ki X-in şəbəkəli ayrılışında hər hansı bir şəbəkəni götürmüşük. F şəbəkəsini oriyentasiyalamaq üçün onun tərəflərini oriyentasiyalayaq. AB tərəfi o zaman oriyentasiyalanmış hesab olunur ki, onun hansı təpə nöqtənin birinci, hansının ikinci olması məlum olsun.AB ⇒ A — I; B — II və BA ⇒ B — I; A — II. kimi müəyyən etsək tərəf oriyentasiyalanmış hesab olunacaqdır. Deməliç hər bir tərəfi 2 cür oriyentasiyalamaq olar.Şəbəkənin tərəflərinin birini oriyentasiyaladıqdan sonra bütün şəbəkəni oriyentasiyalamaq olar. Bunun üçün AB tərəfinin hər hansı bir oriyentasiyasını götürürlər. AB-nin II təpə nöqtəsini bununla ortaq təpəyə malik olan o biri tərəf üçün üçün birinci təpə götürürlər və prosesi bu qaydada davam etdirirlər. Aydındır ki, hər bir şəbəkəni bu qaydada 2 cür oriyentasiyalamaq olar. F1 şəbəkəsini oriyetasiyaladıqdan sonra kimi işarə olunur.
Diferensial tənliklər
Riyaziyyatda diferensial tənlik bir və ya daha çox funksiya və onların törəmələrini əlaqələndirən bir tənlikdir. Bu cür münasibətlər olduqca yaygın olduğundan, diferensial tənliklər mühəndislik, fizika, iqtisadiyyat və biologiya da daxil olmaqla bir çox fənlərdə məşhur rol oynayır.
Diferensial tənliklərin öyrənilməsi əsasən onların həllərinin (tənliyi ödəyən edən funksiyaların məcmusu) və həllərinin xüsusiyyətlərinin öyrənilməsindən ibarətdir. Yalnız ən sadə diferensial tənliklər açıq formullarla həll edilə bilər; lakin verilmiş bir diferensial tənliyin həllərinin bir çox xüsusiyyətləri onları dəqiq hesablamadan müəyyən edilə bilər.
Həlllər üçün qapalı formalı bir ifadə olmadıqda, kompüterlər istifadə edilərək sayları yaxınlaşdırıla bilər. Dinamik sistemlər nəzəriyyəsi, diferensial tənliklərlə təsvir olunan sistemlərin keyfiyyətcə təhlilinə diqqət yetirir, halbuki müəyyən bir dəqiqlik dərəcəsi ilə həlli təyin etmək üçün bir çox sayda metod hazırlanmışdır.
Diferensial tənliklər əvvəlcə Newton və Leibniz tərəfindən hesablama ixtirası ilə meydana gəldi. Onun 1671-ci il iş metodu 2-ci hissəsində Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum, Isaac Newton üç növ diferensial tənlikləri sadaladı:
d
y
d
x
=
f
(
x
)
d
y
d
x
=
f
(
x
,
y
)
x
1
∂
y
∂
x
1
+
x
2
∂
y
∂
x
2
=
y
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}
Bütün bu hallarda, y ( x ) və ya bilinməyən bir funksiyadır
x
1
{\displaystyle x_{1}}
və
x
2
{\displaystyle x_{2}}
) və f verilən bir funksiyadır.
Sonsuz seriyalardan istifadə edərək bu nümunələri və digərlərini həll edir və həllərin qeyri-bərabərliyini müzakirə edir.
Jacob Bernoulli 1695-ci ildə Bernoulli diferensial tənliyini təklif etdi.
Diferensial Diaqnoz
Diferensial diaqnoz (lat. differentia "fərq") — tibbdə oxşar simptomları olan hər hansı bir fakta uyğun olmayan xəstəlikləri istisna edən diaqnostik üsuldur və diaqnozun nəticəsi yeganə ehtimal olunan xəstəliyi üzə çıxarmalıdır.
Diferensial diaqnozu tam və ya qismən aparmağa imkan verən kompüter proqramları mövcuddur.
Şizofreniya, Lyme xəstəliyi və ya pnevmoniya kimi xəstəliklərin diaqnozu üçün nəzərdə tutulmuş sistemlər və QMR, DiagnosisPro, və VisualDx kimi proqramlar var.
Adi diferensial tənliklər
Sərbəst dəyişən
x
{\displaystyle x}
, axtarılan funksiya
y
(
x
)
{\displaystyle y\left(x\right)}
və onun törəməsi
y
′
(
x
)
{\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)}
arasıda verilmiş
F
(
x
,
y
,
y
′
)
=
0
(
1
)
{\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)}
münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki,
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F\left(x,y,z\right)}
funksiyası
x
,
y
{\displaystyle x,y}
dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya
z
{\displaystyle z}
- dən hökmən asılı olmalıdır.
y
′
=
f
(
x
,
y
)
(
2
)
{\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)}
şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.Tutaq ki,
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f\left(x,y\right)}
funksiyası
X
O
Y
{\displaystyle XOY}
müstəvisinin muəyyən bir
D
{\displaystyle D}
oblastında təyin olunmuşdur.Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan
D
{\displaystyle D}
nöqtələr çoxluğu başa düşülür:
1)
D
{\displaystyle D}
açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir;
2)
D
{\displaystyle D}
çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə
D
{\displaystyle D}
– nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.Tərif. Əgər
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
inteqralında diferensiallanan
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}
funksiyası
1.
(
x
,
φ
(
x
)
)
∈
D
,
x
∈
(
a
,
b
)
2.
φ
(
x
)
=
f
(
x
,
φ
(
x
)
)
,
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}}
şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
intervalında həlli deyilir. Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.Tərif. Əgər
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
(
3
)
{\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}
bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}
funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş
x
=
φ
(
x
)
,
y
=
ψ
(
t
)
,
t
∈
(
α
,
β
)
(
4
)
{\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)}
funksiyası hər bir
t
{\displaystyle t}
üçün:
1)
(
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
∈
D
{\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D}
2)
x
′
=
φ
′
(
t
)
,
y
′
=
ψ
′
(
t
)
,
(
φ
′
(
t
)
≠
0
)
{\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)}
sonlu törəmələri və
3)
ψ
′
(
t
)
φ
′
(
t
)
=
f
(
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)}
bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin
(
α
,
β
)
{\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)}
inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.Misallar: 1.
y
′
=
2
x
{\displaystyle y^{\prime }=2x}
tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli
y
=
x
2
+
c
(
−
∞
<
x
<
+
∞
)
{\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)}
düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki,
y
′
=
2
x
{\displaystyle y^{\prime }=2x}
tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir.
Bernoulli diferensial tənliyi
Riyaziyyatda,
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}
formasında yazılan adi diferensial tənliyə Bernoulli diferensial tənliyi deyilir.
Burada
n
{\displaystyle n}
, 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır. 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir .
== Xətti diferensial tənliyə çevrilmə ==
n
=
0
{\displaystyle n=0}
olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir.
n
=
1
{\displaystyle n=1}
olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər.
n
≠
0
{\displaystyle n\neq 0}
və
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
olduqda
u
=
y
1
−
n
{\displaystyle u=y^{1-n}}
yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn,
n
=
2
{\displaystyle n=2}
də,
u
=
y
−
1
{\displaystyle u=y^{-1}}
yerləşdirilirsə,
d
y
d
x
+
1
x
y
=
x
y
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}
diferensial tənliyindən
d
u
d
x
−
1
x
u
=
−
x
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}
xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.
Diferensial skaner kalorimetriyası
Diferensial skaner kalorimetriyasi – temperaturun funksiyası kimi endo- və ekzotermik keçidlərin ölçülməsi üçün termiki analizin ən populyar üsuludur.
Kalorimetriya – istiliyi ölçülən müxtəlif proseslərin fiziki - kimyəvi analiz metodları qrupudur:
kimyəvi reaksiyaların;
faza keçidlərinin;
istilik tutumu (cismin temperaturunun dəyişilməsi üçün tələb olunan istilik).
İstilik – daxili enerjinin məkanda yenidən bölüşdürülməsi prosesini xarakterizə edən funksiyadır; onu istilik köçürmə prosesi olmadıqda ölçmək mümkün deyil. Buna görə hər hansı bir kalorimetrin dizaynında ölçmə sisteminin müxtəlif hissələri arasında istilik mübadiləsinin mümkün olması nəzərə alınır və istilik koçürmələri ilə bağlı hadisələri anlama, kalorimetriyada prinsipial əhəmiyyətə malikdir.
İstilik köçürülməsi fiziki təbiətinə görə müxtəlif yollarla həyata keçirilə bilər:
maddələrin istilik keçiriciliyi səbəbindən;
konveksiya yolu ilə;
istilik şüalanma yolu ilə.
İstilik keçiriciliyi – molekullarin və ya atomların titrədici vəziyyətlərini dəyişdirərək enerji transfer metodudur (enerjinin ötürülməsi metodu). İstilik keçiriciliyi kütləvi ötürülmə ilə müşayiət edilmir və yalnız qatı maddələrdə mümkündür.
Konveksiya – enerjinin maye və ya qaz axını ilə ötürülməsi. Sistemin bir nöqtəsindən digərinə konveksiya ilə ötürülən enerjinin miqdarı bu iki nöqtə arasındakı temperatur fərqi ilə mütənasibdir (birbaşa nisbətdədir).
Bütün cisimlər elektromaqnit şüalanmanı aramsız yayırlar və udurlar.