TƏNLİ

Sərbəst dəyişən x {\displaystyle x} , axtarılan funksiya y ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)} və onun törəməsi y ′ ( x ) {\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)} arasıda verilmiş F ( x , y , y ′ ) = 0 ( 1 ) {\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)} münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki, F ( x , y , z ) {\displaystyle F\left(x,y,z\right)} funksiyası x , y {\displaystyle x,y} dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya z {\displaystyle z} - dən hökmən asılı olmalıdır. y ′ = f ( x , y ) ( 2 ) {\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)} şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.Tutaq ki, f ( x , y ) {\displaystyle f\left(x,y\right)} funksiyası X O Y {\displaystyle XOY} müstəvisinin muəyyən bir D {\displaystyle D} oblastında təyin olunmuşdur.Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan D {\displaystyle D} nöqtələr çoxluğu başa düşülür: 1) D {\displaystyle D} açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir; 2) D {\displaystyle D} çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə D {\displaystyle D} – nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.Tərif. Əgər ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} inteqralında diferensiallanan y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası 1. ( x , φ ( x ) ) ∈ D , x ∈ ( a , b ) 2. φ ( x ) = f ( x , φ ( x ) ) , x ∈ ( a , b ) {\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}} şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} intervalında həlli deyilir. Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.Tərif. Əgər ϕ ( x , y ) = 0 ( 3 ) {\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)} bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş x = φ ( x ) , y = ψ ( t ) , t ∈ ( α , β ) ( 4 ) {\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)} funksiyası hər bir t {\displaystyle t} üçün: 1) ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ∈ D {\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D} 2) x ′ = φ ′ ( t ) , y ′ = ψ ′ ( t ) , ( φ ′ ( t ) ≠ 0 ) {\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)} sonlu törəmələri və 3) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) = f ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)} bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin ( α , β ) {\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)} inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.Misallar: 1. y ′ = 2 x {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli y = x 2 + c ( − ∞ < x < + ∞ ) {\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)} düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki, y ′ = 2 x {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir.

Riyaziyyatda, y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}} formasında yazılan adi diferensial tənliyə Bernoulli diferensial tənliyi deyilir. Burada n {\displaystyle n} , 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır. 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir . == Xətti diferensial tənliyə çevrilmə == n = 0 {\displaystyle n=0} olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. n = 1 {\displaystyle n=1} olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} və n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} olduqda u = y 1 − n {\displaystyle u=y^{1-n}} yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, n = 2 {\displaystyle n=2} də, u = y − 1 {\displaystyle u=y^{-1}} yerləşdirilirsə, d y d x + 1 x y = x y 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}} diferensial tənliyindən d u d x − 1 x u = − x {\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x} xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Bircins tənlik f {\displaystyle f} funksiyası bircins funksiya olduqda f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0} şəklində tənlik. Əgər f ( λ x 1 , λ x 2 , … , λ x n ) = λ m ⋅ f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{m}\cdot f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} olarsa, ( λ ∈ R , m ∈ N ) {\displaystyle (\lambda \in R,m\in N)} f {\displaystyle f} funksiyasına m {\displaystyle m} tərtibli bircins funksiya deyilir. x 1 = x 1 ( t ) , x 2 = x 2 ( t ) , … x n = x n ( t ) , {\displaystyle x_{1}=x_{1}(t),x_{2}=x_{2}(t),\dots x_{n}=x_{n}(t),} olarsa, verilən bircins tənlik birdəyişənli olur. Əgər f {\displaystyle f} funksiyası çoxhədlidirsə,bu çoxhədlinin bütün hədlərinin qüvvətləri m {\displaystyle m} -ə bərabər olur. Məsələn, 3 2 t − 5 ⋅ 6 t + 6 ⋅ 2 2 t = 0 {\displaystyle 3^{2t}-5\cdot 6^{t}+6\cdot 2^{2t}=0} tənliyi x = 3 t {\displaystyle x=3^{t}} və y = 2 t {\displaystyle y=2^{t}} dəyişənlərinə görə 2 tərtibli bircins tənlikdir. == Xarici keçidlər == Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1.

Davamlılıq tənliyi, axdığı boru içərisindəki duruların (mayelərin) axını, onu qoruyub saxlayan bir tənlikdir. Kütlə, enerji, impuls, elektrik yükü və digər təbii miqdarlar lazımi şəraitdə saxlanıldığı üçün müxtəlif fiziki hadisələri davamlılıq tənliyi ilə təsvir etmək olar. == Sıxılmış durular için davamlılıq tənliyi == ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2 {\displaystyle \rho _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\cdot \mathbf {A} _{1}=\rho _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\cdot \mathbf {A} _{2}} burada; ρ {\displaystyle \rho \,} : Sıxlıq , V {\displaystyle \mathbf {V} } Durunun sürəti , A {\displaystyle \mathbf {A} } : Məhdud (Enkesit) vektorial sahədir . == Sıxılmayan durular için davamlılıq tənliyi == V 1 ⋅ A 1 = V 2 ⋅ A 2 {\displaystyle \mathbf {V} _{1}\cdot \mathbf {A} _{1}=\mathbf {V} _{2}\cdot \mathbf {A} _{2}} burada; V {\displaystyle \mathbf {V} } Durunun sürəti , A {\displaystyle \mathbf {A} } : Məhdud (Enkesit) vektorial sahədir .

Diofant tənliyi — adını e.ə III əsrdə yaşadığı təxmin edilən qədim yunan riyaziyyatçısı Diofantdan alan dəyişənləri və əmsalları tam ədəd olan tənlik. Diofant "Hesab" adlı yalnız 6 cildi günümüzə gəlib-çatan əsərində 130 tənliyi və onların həllini qeyd etmişdir. == Xətti Diofant tənlikləri == Sadə xətti tənlikdə nümunələr aşağıdakı kimi verilə bilər; Nümunə 1.1 x + y = 1 {\displaystyle x+y=1} Bu bərabərlikdə hər bir x qiyməti üçün tək bir y həlli var. ( y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} ). Bu bərabərliyin həll çoxluğu; (X, 1 − X) şəklindədir hər X ∈ Z üçün Nümunə 1.2 x + 2 y = 1 {\displaystyle x+2y=1} Bu dəfə x-in hər hansı bir tam ədəd ola bilməyəcəyi, lakin sadəcə tək ədəd ola biləcəyi görülür ( x = 1 − 2 y {\displaystyle x=1-2y} ). Bu bərabərliyin həll çoxluğu; (1-2y, y) şəklindədir hər y ∈ Z üçün Nümunə 1.3 3 x + 6 y = 1 {\displaystyle 3x+6y=1} Bu bərabərliyin həlli boş çoxluqdur. Hər x {\displaystyle x} və y {\displaystyle y} tam ədəd seçimi üçün bu tənliyin sol tərəfi həmişə 3-cü qüvvət olduğu halda sağ tərəfi heç vaxt 3-cü qüvvətdən ola bilməz. === Ümumi xətti Diofant tənliyi === a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} şəklindədir. Burada a, b və c tam əmsallar x {\displaystyle x} və y {\displaystyle y} tam ədəd dəyişənləridir. == Digər nümunələr == === Pifaqor teoremi === Ümumi bir nümunə Pifaqor tənliyidir (Bax: Pifaqor teoremi) Nümunə 2.1.1 x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,} Burada x , y , z {\displaystyle x,y,z} tam ədədləri düzbucaqlı üçbucağın kənar tərəflərini təmsil etdiyi üçün Pifaqor üçlüyü olaraq da adlandırılır.

Xarici təsir olmadıqda yarımkeçiricilərdə əsas yük daşıyıcıların generasiyası valent zonasından keçirici və ya akseptor səviyyələrinə və yaxud donor səviyyəsindən keçirici zonaya keçidlərlə elektronların istilik həyəcanlanması hesabına baş verir. Bu zaman keçirici zonasında sərbəst elektronlar, valent zonasında isə sərbəst deşiklər əmələ qəlir. İki tərs proses - yük daşıyıcıların generasiyası və rekombinasiyası nəticəsində, yarımkeçirici kristalın tərkibində elektronların - n0 və deşiklərin -р0 konsentrasiyası tarazlıq halına gələrək istilik tarazlıq halını yaratmış olurlar. Sərbəst yük daşıyıcıların generasiyası hesabına yarımkeçiricilərdə hər zaman əks qiymətə malik yük daşıyıcılar əmələ gəlir. Beləliklə yarımkeçiri kristallarda yüklənmiş hissəciklərin cəm yükü sıfıra bərabər olur, bu isə yarımkeçiricinin elektrik olaraq tam neytrallığı deməkdir. Elektrik neytrallıq şərti bu cür ifadə olunur: n 0 + N A − = p 0 + N D + {\displaystyle n_{0}+N_{A}^{-}=p_{0}+N_{D}^{+}} burda n0 və р0 – elektronların keçirici zonasında və deşiklərin valent zonasında tarazlıq konsentrasiyasıdır; N A − {\displaystyle N_{A}^{-}} və N D + {\displaystyle N_{D}^{+}} - akseptor və donorların bir qat ionlaşmış atomların konsentrasiyasını ifade edir.

Eynigüclü tənlik — əgər, f 1 ( x ) = g 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x)} tənliyinin hər bir kökü f 2 ( x ) = f 2 ( x ) {\displaystyle f_{2}(x)=f_{2}(x)} tənliyinin kökü və ya əksinə, f 2 ( x ) = g 2 ( x ) {\displaystyle f_{2}(x)=g_{2}(x)} tənliyinin hər bir kökü f 1 ( x ) = g 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x)} tənliyinin kökü olarsa, belə tənliklərə eynigüclü tənliklər deyilir.

Eynşteyn sahə tənlikləri — qravitasiyanın, əslində fəza-zamanın kütlə və enerji tərəfindən əyilməsi ilə meydana çıxan anlayış olduğunu riyazi şəkildə göstərən 10 tenzorial tənlikdən ibarət sistemdir. Eynşteyn tenzoru ilə ifadə olunan fəza-zamandakı lokal əyriliyi həmin sahədə yerləşən və gərginlik-enerji tenzoru ilə ifadə olunan maddə ilə əlaqələndirən bu tənliklər, 1915-ci ildə Albert Eynşteyn tərəfindən Ümumi Nisbilik Nəzəriyyəsində irəli sürülmüşdür. Sahə tənlikləri bu formada olub, G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }} G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} — Eynşteyn tenzorunu, Λ {\displaystyle \Lambda } — Kosmoloji sabiti, g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} — metrik tenzoru T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} — Gərginlik-enerji tenzorunu, G {\displaystyle G} və c {\displaystyle c} isə uyğun olaraq Qravitasiya Sabiti və işıq sürətini göstərir. Beləcə 4 ölçülü fəza-zamanda hər μ {\displaystyle \mu } və ν {\displaystyle \nu } komponenti üçün 4 tənlik olmaqla cəmi 16 tənlik olmalıdır. Lakin tənlikdəki bütün tenzorlar simmetrik olduğundan( X μ ν = X ν μ {\displaystyle X_{\mu \nu }=X_{\nu \mu }} ) eynicinsli tənlikləri çıxmaqla bir-birindən ayrı 10 tənlik qalır. === Eyşteyn tenzoru === Eynşteyn tenzoru Riemann tenzorunun 2 indeksi üzrə cəmlənməsindən ( R μ ν = R μ λ ν λ {\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\;\mu \lambda \nu }^{\lambda }} ) əmələ gələn Rikki tenzoru üzərində qurulur və enerji-impuls tenzoru ilə mütənasib olub fəza-zaman əyriliyini xarakterizə edən tenzor olaraq Eynşteyn tərəfindən gətirilib: G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν , {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },} burada R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} — Rikki tenzoru, R {\displaystyle R} — Rikki skalyarıdır( R = R α β g α β {\displaystyle R=R_{\alpha \beta }g^{\alpha \beta }} ). Eynşteyn tenzorunun Rikki tenzorundan əsas fərqləndirici xüsusiyyəti, onun gərginlik-enerji tenzoru kimi konservativ olmasıdır: ∇ μ G μ ν = 0 {\displaystyle \nabla ^{\mu }{G_{\mu \nu }}=0} . Eynşteyn tenzorunun açılışını nəzərə alsaq, sahə tənlikləri R μ ν − 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }} şəklində ifadə olunar. == Kosmoloji sabit == Sahə tənlikləri ilk dəfə kosmoloji sabit faktoru olmadan, bu şəkildə yazılmışdı: G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.} Daha sonra Eynşteyn, Ümumi Nisbilik Nəzəriyyəsini kainatı modelləşdirmək üçün tətbiq etdikdə mövcud tənliklər, kainatın ya daim genişlənəcəyinə, ya da tək bir sinqulyar nöqtəyə çökməli olduğuna dəlalət edirdi.

Funksional tənlik — məchulu funksiya olan tənlik. Axtarılan funksiya müəyyən əməliyyatlarla (mürəkkəb funksiyanın əmələ gəlməsi əməliyyatları ilə) verilən məlum funksiyalarla bağlı olur. Adətən, axtarılan funksiyanın aid olduğu funksiyalar sinfi göstərilir. Məsələn, f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} . Burada f {\displaystyle f} axtarılan funksiyadır. Bu funksional tənliyin həlli f ( x ) = α x {\displaystyle f(x)=\alpha x} funksiyasıdır(əgər tənliyin həlli kəsilməz funksiyalar sinfinə aiddirsə). f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)} və f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)\centerdot f(y)} tənliklərinin kəsilməz həlləri, uyğun olaraq, y = l n x {\displaystyle y=lnx} və y = e x {\displaystyle y=e^{x}} funksiyalarıdır. Tək və cüt funksiyaların, dövri funksiyaların tərifləri funksional tənliklər vasitəsilə verilir.

Koşi-Eyler tənliyi və ya Eyler-Koşi tənliyi ya da qısaca, Eyler tənliyi xətti, bircins, dəyişən əmsallı adi differensial tənlikdir. == Tənlik == y(n)(x) y(x) funksiyasının n-ci dərəcədən törəməsi olsun, onda Koşi- Eyler tənliyi bu şəkildə verilir: a n x n y ( n ) ( x ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + a 0 y ( x ) = 0. {\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.} x = e u {\displaystyle x=e^{u}} əvəzləməsi ilə tənlik sabit əmsallı xətti diferensial tənliyə gətirilir. Alternativ olaraq tənliyin aşkar həlli y = x m {\displaystyle y=x^{m}} əvəzləməsi ilə tapılır. === İkitərtibli Koşi-Eyler tənliyinin aşkar həlli === Ən çox yayılmış Koşi-Eyler tənliyi Laplas tənliyinin qütb koordinatlarında həlli kimi, bir sıra fizika və mühəndislik tətbiqlərində görünən ikitərtibli tənlikdir. İkitərtibli Koşi-Eyler tənliyi aşağıdaki kimidir: x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,} Aşkar həlli y = x m {\displaystyle y=x^{m}\,} şəklində tapılır. Differensiallamaqla alınır: d y d x = m x m − 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,} və d 2 y d x 2 = m ( m − 1 ) x m − 2 . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,} Alınan ifadələri əsas tənlikdə yerinə yazmaqla alınır: x 2 ( m ( m − 1 ) x m − 2 ) + a x ( m x m − 1 ) + b ( x m ) = 0 {\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,} Tənlik aşağıdaki hala gətirilir: m 2 + ( a − 1 ) m + b = 0. {\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,} Alınan tənlik m -ə nəzərən həll edilir.

Koşi ötürmə tənliyi Optikada müəyyən bir şəffaf material üçün işığın sınma indeksi və dalğa uzunluğu arasında empirik əlaqə . Adını 1837-ci ildə təyin edən riyaziyyatçı Oqüsten Koşinin şərəfinə almışdır. == Tənlik == Koşi tənliyinin ən ümumi forması n ( λ ) = A + B λ 2 + C λ 4 + ⋯ , {\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}+\cdots ,} burada n sınma əmsalıdır, λ dalğa uzunluğu, A, B, C və s., tənliyi məlum dalğa uzunluqlarında ölçülmüş sındırma göstəricilərinə uyğunlaşdırmaqla material üçün müəyyən edilə bilən əmsallardır . Əmsallar adətən mikrometrlərdə vakuum dalğa uzunluğu (materialın daxilində olan λ/n kimi deyil) kimi λ üçün göstərilir. Adətən, tənliyin ilk iki həddindən istifadə etmək kifayətdir: n ( λ ) = A + B λ 2 , {\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}},} burada A və B əmsalları tənliyin bu forması üçün xüsusi olaraq təyin edilir. Ümumi optik materiallar üçün əmsallar cədvəli aşağıda göstərilmişdir: işıq-maddə qarşılıqlı əlaqəni əsaslandıran Koşinin bu tənliyi sonradan yanlış olduğu məlum oldu. Xüsusilə, tənlik yalnız görünən dalğa uzunluğu bölgəsində normal dispersiya bölgələri üçün keçərlidir. İnfraqırmızı dalğalarda tənlik qeyri-dəqiq olur və anomal dispersiya bölgələrini təmsil edə bilmir. Buna baxmayaraq, onun riyazi sadəliyi onu bəzi tətbiqlərdə faydalı edir. Zelmeyer tənliyi anomal dispersiv bölgələri əhatə edən və ultrabənövşəyi, görünən(400-700 nm dalğa uzunluqlu şüalar) və infraqırmızı spektrdə materialın sındırma indeksini daha dəqiq modelləşdirən Koşinin çalışmasının genişləndirilmiş formasıdır.

Kvadrat tənlik — a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) şəklində olan tənliyə deyilir. Burada a, b, c sabit ədədlər, x isə məchuldur. a - birinci əmsal, b - ikinci əmsal, c - sərbəst hədd adlanır. Birinci həddin əmsalı (yəni a) 1-ə bərabər olan kvadrat tənlik Çevrilmiş kvadrat tənlik adlanır. Məsələn: ax²+bx+c=0 tənliyinin hər iki tərəfini a-ya bölməklə, x²+ b/a x +c/a=0 tənliyini alarıq. Burada b/a=p, c/a=q işarə etməklə, onu x²+px+q=0 şəklində yazmaq olar x²+px+q=0 𝐭ə𝐧𝐥𝐢𝐲𝐢𝐧ə ç𝐞𝐯𝐫𝐢𝐥𝐦𝐢ş 𝐤𝐯𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭 𝐭ə𝐧𝐥𝐢𝐤 𝐝𝐞𝐲𝐢𝐥𝐢𝐫. 2x²-6x-8=0 tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə bölməklə, onunla eynigüclü olan x²-3x-4=0 çevrilmiş kvadrat tənliyi alarıq == Viyet teoremi == Çevrilmiş kvadrat tənlikdə tənliyin kökləri cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, kökləri hasili isə sərbəst həddə bərabərdir. Viyet teoreminin tərsi-Tərs Teorem:m və n ədədlərinin cəmi p-yə hasili isə q-ya bərabər olarsa, bu ədədlər x²+px+q=0 tənliyinin kökləridir. İsbat: Tənlikdə x=m yazsaq, m²-(m+n)×m+mn=m²-m²-mn+mn=0 olduğunu alarıq, yəni m ədədi tənliyi ödəyəndir. x=n ədədinin də tənliyin kökü olduğunu eyni qayda ilə göstərmək olar.

Laplas tənliyi riyaziyyatda və fizikada ikitərtibli xüsusi törəməli diferensial tənlikdir. Xüsusiyyətləri ilk dəfə Pyer Simon Laplas tərəfindən tətqiq edildiyinə görə onun adını daşıyır. Tənliyin yazılışı aşağıdaki kimidir: ∇ 2 f = 0 və ya Δ f = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0\qquad {\mbox{və ya}}\qquad \Delta f=0,} Burada Δ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}} Laplas operatoru, ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } divergensiya operatoru, ∇ {\displaystyle \nabla } qradiyent operatoru və f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} isə iki dəfə diferensiallana bilən həqiqi qiymətli funksiyadır. Belə ki, Laplas operatoru skalyar bir funksiyanı başqa skalyar funksiyaya inkas etdirir. Sağ tərəfdə h ( x , y , z ) {\displaystyle h(x,y,z)} funksiyası təyin olunarsa, onda Laplas tənliyi aşağıdaki kimi verilir: Δ f = h . {\displaystyle \Delta f=h.} Buna Puasson tənliyi, Laplas tənliyinin ümumiləşdirilməsi deyilir. Laplas və Poisson tənlikləri eliptik xüsusi törəməli diferensial tənliklərin ən sadə nümunələridir. Laplas tənliyi, həmçiin Helmholtz tənliyinin xüsusi bir haldır. Laplas tənliyinin həllərinin ümumi nəzəriyyəsi potensial nəzəriyyə olaraq bilinir. Laplas tənliyinin həlli fizikanın bir çox sahələrində, xüsusən elektrostatikada, qravitasiya və maye dinamikasında mühüm əhəmiyyət daşıyan harmonik funksiyalardır.

Maksvell tənlikləri - xüsusi differensial tənliklər toplusudur, bu tənliklər Lorens qüvvəsi ilə birlikdə klassik elektromaqnetizm, klassik optika və elektrik şəbəkələrinin fundamental qanunlarıdır. Dəyişən maqnit sahəsində yerləşən hərəkətsiz naqildə induksiya cərəyanının yaranmasının səbəbi hər bir dəyişən maqnit sahəsinin ətraf fəzada elektrik sahəsi yaratmasıdır. Elektromaqnit induksiya qanununun aşağıdakı kimi ifadə edilməsi Maksvellə məxsusdur: Zamana görə dəyişən hər bir maqnit sahəsi ətraf fəzada elektrik sahəsi yaradır. Maksvellə görə əksinə elektromaqnit induksiyasının mahiyyəti hər şeydən əvvəl cərəyanın deyil, elektrik sahəsinin həyacanlanmasından ibarətdir. Elektromaqnit induksiyası fəzada hər hansı naqil olmadıqda belə müşahidə oluna bilər. Qapalı naqili dəyişən maqnit sahəsinə daxil etdikdə induksiya cərəyanının yaranması, maqnit sahəsinin dəyişməsi nəticəsində yaranan E elektrik sahəsinin təzahürlərindən biridir. Induksiya qanununun Maksvell izahı Faradey izahına nəzərən daha ümumidir. O elektrodinamikanın ən mühüm ümumiləşdirilmələri sırasına daxildir. == Tənliklər == Bu nəzəriyyənin riyazi ifadəsi rolunu, inteqral və differensial formada yazılması qəbul edilmiş Maksvellin dörd tənliyi oynayır. Differensial tənliklər, vektor analizinin iki teoremi-Qauss və Stoks teoremlərinin köməyi ilə inteqral tənliklərdən alınır.

y ′ + a ( x ) y + b ( x ) y 2 + c ( x ) = 0 {\displaystyle y^{\prime }+a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)=0} ( ∗ ) {\displaystyle (*)} şəklində tənliyə Rikkati tənliyi deyilir. Rikkati tənliyi b ( x ) = 0 {\displaystyle b(x)=0} olduqda xətti, c ( x ) = 0 {\displaystyle c(x)=0} olduqda isə Bernulli tənliyinə çevrilir. Rikkati tənliyinin hər hansı y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1}(x)} xüsusi həlli məlum olduqda y ( x ) = y 1 ( x ) + z ( x ) {\displaystyle y(x)=y_{1}(x)+z(x)} əvəzləməsi vasitəsilə Bernulli tənliyinə gətirlir. Ümumi halda, Rikkati tənliyi kvadraturaya gətirilə bilmir, yəni həll etmək olmur. Xüsusi halda: b d x d t = x 2 + a t α , ( ∗ ∗ ) {\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)} haradakı α , a , b ≠ 0 {\displaystyle \alpha ,\,a,\,b\neq 0} —sabiti, ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı tədqiq etmişdir Yakopo Françesko Rikkati və ailələrini Bernulli . α = 4 n / ( 1 − 2 n ) , n ∈ N , {\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,} или α = − 2 {\displaystyle \alpha =-2} Jozef Liuvill (1841)isbat etmişdir. ( ∗ ) {\displaystyle (*)} şəkildə ümumi Rikkati tənliyi , ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} — isə xüsusi Rikkati tənliyi adlanır. y ′ + m ( x ) ( A y + B y 2 + C ) = 0 {\displaystyle y^{\prime }+m(x)(Ay+By^{2}+C)=0} olduqda dəyişənlərinə ayrılan, y ′ + A y x + B ( y x ) 2 + C = 0 {\displaystyle y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+C=0} olduqda bircins, y ′ + A y x + B ( y ) 2 + C x 2 = 0 {\displaystyle y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B(y)^{2}+{\frac {C}{x^{2}}}=0} olduqda ümumiləşmiş bircns tənliyə çevrilir. y ′ + 2 y e x − y 2 = e 2 x + e x {\displaystyle y^{\prime }+2ye^{x}-y^{2}=e^{2x}+e^{x}} Rikkati tənliyini həll edin. y 1 ( x ) = e x {\displaystyle y_{1}(x)=e^{x}} tənliyin həlli olduğunu bilavasitə yoxlamaq olar.

Tənlik — məchulu olan bərabərlik. Dəyişənin (dəyişənlərin) tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətinə (qiymətlərinə) tənliyin kökü deyilir. Həqiqi ədədlər meydanında verilmiş tənlik üzərində aşağıdakı çevirmələrdən hər hansı biri aparılarsa, onunla eynigüclü olan tənlik alınar: Tənliyin hər tərəfinə eyni ədədi əlavə etmək olar. Tənliyin hər tərəfindən eyni ədədi çıxmaq olar. Tənliyin hər tərəfini 0-dan fərqli eyni ədədə vurmaq olar. Tənliyin hər tərəfini 0-dan fərqli eyni ədədə bölmək olar. Bir məchulu olan tənliklərə deyilir. Nümunə: x + 1 = 4 , x 2 + 3 = 2 x , 3 x = 9 {\displaystyle x+1=4,~x^{2}+3=2x,~3^{x}=9} İki məchulu olan tənliklərə deyilir. Məsələn, a, b, c hər hansı ədədlər, x və y məchul olduqda, ax+by=c tənliyində x və y məchul olduqlarına görə ikiməchulludur.

Vaxt tənliyi — eyni an üçün verilmiş coğrafi meridianda orta və həqiqi Günəş vaxtlarının fərqidir. η = T m − T ⊙ = t m − t ⊙ {\displaystyle \eta =T_{m}-T_{\odot }=t_{m}-t_{\odot }} Vaxt tənliyini əslində vaxt düzəlişi adlandırmaq daha doğru olardı, lakin o tarixi olaraq astronomiyaya vaxt tənliyi kimi daxil olmuşdur.

Vəziyyət tənliyi - termodinamikanın makroskopik sistemlərini (temperatur, təzyiq, həcm, kimyəvi potensial və s.) bir-biri ilə əlaqələndirən tənlikdir. f ( P , V , T ) = 0. {\displaystyle f(P,\;V,\;T)=0.} U = U ( T , V ) , {\displaystyle U=U(T,V),} U = U ( T , P ) , {\displaystyle U=U(T,P),} U = U ( V , P ) . {\displaystyle U=U(V,P).} U = U ( S , V ) {\displaystyle U=U(S,\;V)} (daxili enerji üçün kanonik vəziyyət tənliyidir), H = H ( S , P ) {\displaystyle H=H(S,\;P)} (entalpiya üçün kanonik vəziyyət tənliyidir), F = F ( T , V ) {\displaystyle F=F(T,\;V)} (Helmhots enerjisi üçün kanonik vəziyyət tənliyidir), G = G ( T , P ) {\displaystyle G=G(T,\;P)} (Qibbs potensialı üçün kanonik vəziyyət tənliyidir). Perrot, Pierre (1998). A to Z of Thermodynamics. Oxford University Press. ISBN 0-19-856552-6. Van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation).

Xətti tənliklər sistemi mövzusunun elementləri hələ orta məktəbdə tədris olunmağa başlayır. Ən sadə xətti tənliklər sistemi { a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}} şəklində olan sistemdir. Burada a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 {\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}} verilmiş əmsallar, x {\displaystyle x} və y {\displaystyle y} isə dəyişənlərdir. Aydındır ki, hansı tənliyi birinci və hansını ikinci yazmağın əhəmiyyəti yoxdur. Ona görə də a 1 ≠ 0 {\displaystyle a_{1}\neq 0} qəbul edə bilərik. Orta məktəbdə belə sistemin həlli üçün təklif olunan üsullardan biri cəbri toplama üsulu adlanan üsuldur. Bu üsulun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Birinci tənliyin hər iki tərəfini − a 2 a 1 − 1 {\displaystyle -a_{2}a_{1}^{-1}} ədədinə vuraq: − a 2 x − b 1 a 2 a 1 − 1 y = − c 1 a 2 a 1 − 1 {\displaystyle -a_{2}x-b_{1}a_{2}a_{1}^{-1}y=-c_{1}a_{2}a_{1}^{-1}} alınan tənliyi ikinci tənliklə toplayıb, hər tərəfi yenidən a 1 {\displaystyle a_{1}} -ə vuraq. Əgər b 2 a 1 − b 1 a 2 ≠ 0 {\displaystyle b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}\neq 0} olarsa, alarıq: ( b 2 a 1 − b 1 a 2 ) y = c 2 a 1 − c 1 a 2 {\displaystyle (b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})y=c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}} və ya y = c 2 a 1 − c 1 a 2 b 2 a 1 − b 1 a 2 {\displaystyle y={\frac {c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}} . Alınan qiyməti birinci tənlikdə yerinə yazmaqla x {\displaystyle x} -i də tapmaq olar.

Zelmeyer tənliyi müəyyən bir şəffaf mühit üçün sınma indeksi və dalğa uzunluğu arasında empirik əlaqədir . Tənlik işığın mühitdə dispersiyasını təyin etmək üçün istifadə olunur. İlk dəfə 1872-ci ildə Volfqanq Zelmeyer tərəfindən təklif edildi və Augustin Cauchy -nin dispersiyanın modelləşdirilməsi üçün kəşf etdiyi Koşi tənliyinin ümumiləşdirilmiş forması idi. Orijinal və ən ümumi formada Zelmeyer tənliyi aşağıdakı kimi verilir n 2 ( λ ) = 1 + ∑ i B i λ 2 λ 2 − C i {\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}} , burada n sınma əmsalı, λ dalğa uzunluğu, Bi və Ci isə eksperimental olaraq müəyyən edilmiş Zelmeyer əmsallarıdır . Bu əmsallar adətən mikrometrlərdə λ üçün göstərilir. Qeyd edək ki, bu λ vakuum dalğa uzunluğudur, yəni materialın daxilində olan λ/n formasında deyil. Tənliyin fərqli forması bəzən müəyyən növ materiallar üçün istifadə olunur, məsələn, kristallar. Cəmin hər həddi, C i {\displaystyle {\sqrt {C_{i}}}} dalğa uzunluğunda Bi -in absorbsiya rezonansını təmsil edir. Məsələn, BK7 şüşəsi üçün aşağıdakı əmsallar ultrabənövşəyi şüada iki, orta infraqırmızı bölgədə isə bir udma rezonansına uyğun gəlir. Hər bir absorbsiya zirvəsinin yaxınında tənlik n2 = ±∞ qeyri-fiziki qiymətləri verir və bu dalğa uzunluğu bölgələrində Helmholtzun tənliyi kimi daha dəqiq dispersiya modelindən istifadə edilməlidir.

İdeal qazın hal tənliyi - sadəcə, olaraq ideal qazın halını təyin edən tənliyə deyilir. Bəzən bu tənliyə Klapeyron və ya Mendeleyev-Klapeyron tənliyi deyilir.

Şredinger tənliyi — kvant-mexaniki sistemləri təsvir edən xüsusi törəməli xətti diferensial tənlik; kvant mexanikasının fundamental tənliyi.:1–2 Bu tənlik kvant mexanikasının inkişafında başlıca dönüş nöqtəsi yaratmışdır. Tənlik Ervin Şredingerin adını daşıyır. Şredinger bu tənliyi 1925-ci ildə irəli sürmüş, 1926-cı ildə nəşr etdirmiş, 1933-cü ildə isə bu işinə görə Fizika üzrə Nobel Mükafatı almışdır. Konseptual olaraq Şredinger tənliyi klassik mexanikadakı Nyutonun ikinci qanununun kvant qarşılığıdır. Bir sıra məlum başlanğıc şərtləri nəzərə aldıqda, Nyutonun ikinci qanunu müəyyən bir fiziki sistemin zamanla hansı yolu keçəcəyinə dair riyazi proqnoz verir. Şredinger tənliyi dalğa funksiyasının zamana görə evolyusiyasını, təcrid olunmuş fiziki sistemin kvant-mexaniki xarakteristikasını ifadə edir. Tənlik zaman-evolyusiya operatorunun unitarlığı şərtindən çıxarıla bilər və buna görə də kvant Hamiltonianı olan özü-özünə qoşma operatorun üstlü qiymətiylə əldə olunmalıdır. Şredinger tənliyi kvant-mexaniki sistemləri öyrənmək və proqnozlar vermək üçün yeganə yol deyil. Kvant mexanikasının digər formulyasiyalarına Verner Heyzenberq tərəfindən irəli sürülən matris mexanikası və əsası Riçard Feynman tərəfindən hazırlanmış trayektoriya inteqral formulyasiyası daxildir. Pol Dirak matris mexanikasını və Şredinger tənliyini vahid bir formada birləşdirmişdir.

Şredinger tənliyi — kvant-mexaniki sistemləri təsvir edən xüsusi törəməli xətti diferensial tənlik; kvant mexanikasının fundamental tənliyi.:1–2 Bu tənlik kvant mexanikasının inkişafında başlıca dönüş nöqtəsi yaratmışdır. Tənlik Ervin Şredingerin adını daşıyır. Şredinger bu tənliyi 1925-ci ildə irəli sürmüş, 1926-cı ildə nəşr etdirmiş, 1933-cü ildə isə bu işinə görə Fizika üzrə Nobel Mükafatı almışdır. Konseptual olaraq Şredinger tənliyi klassik mexanikadakı Nyutonun ikinci qanununun kvant qarşılığıdır. Bir sıra məlum başlanğıc şərtləri nəzərə aldıqda, Nyutonun ikinci qanunu müəyyən bir fiziki sistemin zamanla hansı yolu keçəcəyinə dair riyazi proqnoz verir. Şredinger tənliyi dalğa funksiyasının zamana görə evolyusiyasını, təcrid olunmuş fiziki sistemin kvant-mexaniki xarakteristikasını ifadə edir. Tənlik zaman-evolyusiya operatorunun unitarlığı şərtindən çıxarıla bilər və buna görə də kvant Hamiltonianı olan özü-özünə qoşma operatorun üstlü qiymətiylə əldə olunmalıdır. Şredinger tənliyi kvant-mexaniki sistemləri öyrənmək və proqnozlar vermək üçün yeganə yol deyil. Kvant mexanikasının digər formulyasiyalarına Verner Heyzenberq tərəfindən irəli sürülən matris mexanikası və əsası Riçard Feynman tərəfindən hazırlanmış trayektoriya inteqral formulyasiyası daxildir. Pol Dirak matris mexanikasını və Şredinger tənliyini vahid bir formada birləşdirmişdir.