сущ. тригонометрия:
1. раздел геометрии, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника. Düzxətli triqonometriya прямолинейная тригонометрия, sferik triqonometriya сферическая тригонометрия
2. учебная дисциплина. Triqonometriya dərsi урок тригонометрии
Triqonometriya
Triqonometriya izahı (yunanca τρίγωνο trígono „üçbucaq" və μέτρον métron „ölçü") - həndəsənin və bununla riyaziyyatın bir hissəsi olub üçbucaqların tərəflərinin uzunluğu və bucaqları arasındakı münasibətləri öyrədir. Əgər məsələlərin həlli müstəvidə baxılarsa onda bu müstəvi triqonometriyası adlanır, fəzada baş verənlərlə sferik triqonometriya və hiberbolik triqonometriya məşğul olur.
Triqonometriyanın əsas vəzifəsi üçbucağın verilmiş üç parametri (yan tərəfi, bucağı, meridian və s.) əsasında yerdə qalanlarını təyin etməkdən ibarətdir. Köməkçi vasitə kimi triqonometrik funksiyalardan sin, cos, tan, cot, sec və csc tətbiq edilir. triqonometrik hesabatlar həmçinin daha mürəkkəb həndəsi fiqurlara (poliqonlar, stereometriyadakı fiqurlar) da tətbiq edilə bilər.
Triqonometrik məsələlərin həlli düzbucaqlı üçbucaqda nisbətən sadədir. Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180° olduğundan düzbucaqlı üçbucaqlarda düzbucaq ən böyük bucaqdır. Onun qarşısında ən böyük tərəf – hipotenuz durur. Yerdə qalan iki qısa tərəf katetlərdir.
Düzbucaqlı üçbucaq üçün bəllidir:
Verilmiş bucağın Sinusu = Qarşı katet/Hipotenuz
Verilmiş bucağın Kosinusu = Qonşu katet/Hipotenuz
Verilmiş bucağın Tangensi = Qarşı katet/Qonşu katet
Verilmiş bucağın Kotangensi = Qonşu katet/Qarşı katet
Verilmiş bucağın Sekansı = Hipotenuz/Qonşu katet
Verilmiş bucağın Kosekansı = Hipotenuz/Qarşı katet
Buradan güründüyü kimi, üçbucağın yalnız bucaqlarının qiymətləri verilərsə onda onun tərəflərini tapmaq çətinlik yaradır.
Kosinus (triqonometriya)
Koordinat başlanğıcından verilmiş bucaq istiqamətində buraxılmış şüanın, mərkəzi koordinat başlanğıcında yerləşmiş vahid çevrəni kəsdiyi nöqtənin absisinə həmin bucağın Kosinusu deyilir.
Sekans (triqonometriya)
Sekans — hipotenuzun qonşu katetə olan nisbətinə deyilir. İfadəsi:
sec
x
=
1
cos
x
=
|
D
O
|
|
C
O
|
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {|DO|}{|CO|}}}
sec (x) funksiyasının inteqralı bu funksiyanın, (sec (x) + tan (x)) ifadəsinə vurulur.
∫
sec
x
d
x
=
∫
sec
x
⋅
sec
x
+
tan
x
sec
x
+
tan
x
d
x
{\displaystyle \int \sec ~x~dx={\int \sec ~x\cdot {\sec ~x+\tan ~x \over \sec ~x+\tan ~x}~dx}}
u = sec x + tan x ve du = ∫(sec x ∙ tan x + sec2x) dx periodu edilir.
Sinus (triqonometriya)
Koordinat başlanğıcından verilmiş bucaq istiqamətində buraxılmış şüanın, mərkəzi koordinat başlanğıcında yerləşmiş vahid çevrəni kəsdiyi nöqtənin kordinatına həmin bucağın Sinusu deyilir.
Triqonometriyanın tarixi
Triqonometriyanın tarixi — çox uzun mərhələli olan və həndəsədə istifadə edilən triqonometriyanın tarixindən bəhs edilir. Triqonometriyanın tarixi 3000 ilə yaxındır. Vətəni Misir və Hindistan hesab olunur. Üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasında əlaqənin ilk dəfə Misir astronomları Hipparx və Ptolomey tərəfindən tapıldığı hesab edilir. Triqonometriya sözünə ilk dəfə alman riyaziyyatçısı Pitiskusun kitabında 1505-ci ildə rast gəlinib. Riyaziyyatın birbaşa astronomiyadan çıxmış bir qolu olan triqonometriyanın bəzi qaydaları Babillilər və Misirlilər dövründə bilinirdi.
Qərbdə Nəsirəddin Tusidən böyük ölçüdə faydalanan Alman alimi Reqiomontan "Üçbucaqların bütün növləri haqqında" adlı əsəriylə gərçək triqonometriya doğulmuş oldu. Fransua Viyet və Simon Stevin, hesablarda onluq ədədlərdən faydalandılar. Con Neper triqonometriyadan faydalanaraq loqarifma anlayışını elmə gətirdi. İsaak Nyuton və şagirdləri triqonometriya həm funksiyalarının, həm də loqarifmlərinin hesabına tam silsilələri tətbiq etdilər.
Triqonometriyanın əsas düsturları
Triqonometriyada triqonometrik eyniliklər triqonometrik funksiyaların daxil olduğu bərabərliklərdir. Həndəsi olaraq isə bu eyniliklər bir və ya bir neçə bucağın müəyyən funksiyalarını ehtiva edən eyniliklərdir.
Sinus və kosinus arasındakı əsas əlaqə Pifaqorun triqonometrik eyniliyi ilə verilir:
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
burada
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
–
(
sin
θ
)
2
{\displaystyle (\sin \theta )^{2}}
,
cos
2
θ
{\displaystyle \cos ^{2}\theta }
–
(
cos
θ
)
2
{\displaystyle (\cos \theta )^{2}}
deməkdir.
Bu bərabərlikdən sinus və kosinusu tapmaq mümkündür:
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
,
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}
Bərabərliyin tərəflərini ayrı-ayrılıqda sinusa və kosinusa və ya hər ikisinə böldükdə aşağıdakı eyniliklər alınır:
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
sec
2
θ
+
csc
2
θ
=
sec
2
θ
csc
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}
Bu eyniliklərdən istifadə edərək hər hansı bir triqonometrik funksiyanı digəri ilə ifadə etmək mümkündür:
Triqonometrik funksiyaların işarəsi bucağın rübündən asılıdır. Əgər
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }
və sgn işarə funksiyasını ifadə edərsə,
sgn
(
sin
θ
)
=
sgn
(
csc
θ
)
=
{
+
1
if
0
<
θ
<
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
0
0
if
θ
∈
{
0
,
π
}
sgn
(
cos
θ
)
=
sgn
(
sec
θ
)
=
{
+
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
1
2
π
}
sgn
(
tan
θ
)
=
sgn
(
cot
θ
)
=
{
+
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
0
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
0
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
0
,
1
2
π
,
π
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}
sin
(
α
−
β
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}
və
cos
(
α
−
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}
bucaq fərqlərini "
β
{\displaystyle \beta }
" -nı "
−
β
{\displaystyle -\beta }
" ilə əvəz etməklə və
sin
(
−
β
)
=
−
sin
(
β
)
{\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}
və
cos
(
−
β
)
=
cos
(
β
)
{\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}
faktına əsaslanaraq da tapmaq olar.
Triqonometriyanın əsas formulları
Triqonometriyada triqonometrik eyniliklər triqonometrik funksiyaların daxil olduğu bərabərliklərdir. Həndəsi olaraq isə bu eyniliklər bir və ya bir neçə bucağın müəyyən funksiyalarını ehtiva edən eyniliklərdir.
Sinus və kosinus arasındakı əsas əlaqə Pifaqorun triqonometrik eyniliyi ilə verilir:
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
burada
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
–
(
sin
θ
)
2
{\displaystyle (\sin \theta )^{2}}
,
cos
2
θ
{\displaystyle \cos ^{2}\theta }
–
(
cos
θ
)
2
{\displaystyle (\cos \theta )^{2}}
deməkdir.
Bu bərabərlikdən sinus və kosinusu tapmaq mümkündür:
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
,
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}
Bərabərliyin tərəflərini ayrı-ayrılıqda sinusa və kosinusa və ya hər ikisinə böldükdə aşağıdakı eyniliklər alınır:
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
sec
2
θ
+
csc
2
θ
=
sec
2
θ
csc
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}
Bu eyniliklərdən istifadə edərək hər hansı bir triqonometrik funksiyanı digəri ilə ifadə etmək mümkündür:
Triqonometrik funksiyaların işarəsi bucağın rübündən asılıdır. Əgər
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }
və sgn işarə funksiyasını ifadə edərsə,
sgn
(
sin
θ
)
=
sgn
(
csc
θ
)
=
{
+
1
if
0
<
θ
<
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
0
0
if
θ
∈
{
0
,
π
}
sgn
(
cos
θ
)
=
sgn
(
sec
θ
)
=
{
+
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
1
2
π
}
sgn
(
tan
θ
)
=
sgn
(
cot
θ
)
=
{
+
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
0
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
0
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
0
,
1
2
π
,
π
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}
sin
(
α
−
β
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}
və
cos
(
α
−
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}
bucaq fərqlərini "
β
{\displaystyle \beta }
" -nı "
−
β
{\displaystyle -\beta }
" ilə əvəz etməklə və
sin
(
−
β
)
=
−
sin
(
β
)
{\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}
və
cos
(
−
β
)
=
cos
(
β
)
{\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}
faktına əsaslanaraq da tapmaq olar.