AKSİOMA

Aksiomatik üsul – elmi nəzəriyyənin qurulma və tədqiqat üsuludur. Əsasən, riyazi nəzəriyyələrə tətbiq olunur. Aksiomatik üsulla qurulmuş elmi nəzəriyyə aksiomatik və ya deduktiv nəzəriyyə adlanır. Riyazi nəzəriyyə Aksiomatik üsulla qurulduqda əvvəlcə qurulan aksiomatika üçün ilkin olan anlayışlar verilir. İlkin anlayışlar başqa anlayışlarla izah edilmir və məntiqi əsaslandırılmır. Aksiomatik nəzəriyyənin başqa anlayışları ilkin anlayışlar əsasında məntiqi yolla daxil edilir. Hər başqa anlayış ilkin anlayışlardan təşkil edilmiş predikatın ixtisarlaşdırılmış adıdır. Aksiomatik nəzəriyyənin hökmü onun anlayışları arasındakı məntiqi əlaqəni göstərən formullar olub, məntiqi yolla ilkin anlayışlardan alınmışdır. Aksiomatik nəzəriyyəni başqa elmi nəzəriyyələrdən ayıran əsas əlamət isbat olunan hökmün məntiqi əsaslandırılmasıdır. Aksiomatik üsula görə baxılan nəzəriyyənin bəzi müddəa və təklifləri qurulan aksiomatik nəzəriyyə üçün doğru elan edilir, isbatsız qəbul olunur və aksiomatik nəzəriyyənin aksiomları adlanır.

Formal sistem, Aksiomatika — Riyaziyyat elminin bu və ya digər sahəsinin aksiomları sistemidir. Məsələn, Elementar həndəsənin 25-ə yaxın aksiomu, Ədədlər meydanının 9 aksiomu, və s. var. Aksiomlar üzərinə üç tələb qoyulur: Aksiomlar sisteminin ziddiyyətsizliyi. Yəni bu sistemdən məntiqi mühakimə ilə bir-birini inkar edən iki təklif alınmasın. Aksiomlar sisteminin asılı olmaması. Yəni aksiomlar sisteminin heç bir aksiomu məntiqi mühakimələrlə sistemin digər aksiomlarından alınmasın. Başqa sözlə, aksiomlar sisteminin asılı olmaması tələbi bu sistemdəki aksiomların sayını minimuma endirir. Aksiomlar sisteminin tamlığı. Yəni ziddiyyətsiz aksiomlar sisteminin ixtiyari iki modeli (interpretasiyası) izomorfdur.

Arximed aksiomu və ya Arximed prinsipi və ya Arximed mülkiyyəti — Qədim yunan riyaziyyatçısı Arximedin adını daşıyan riyazi ifadələr. Bu təklif əvvəlcə Knidli Evdoks Kəmiyyətlər münasibətləri nəzəriyyəsində formalaşdırıldı (Evdoksun kəmiyyət anlayışı həm nömrələri, həm də davamlı kəmiyyətləri əhatə edir: parçalar, sahələr, həcmlər): İki miqdar varsa a {\displaystyle a} və b {\displaystyle b} , a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} -dən azdırsa, sonra a {\displaystyle a} komponent olaraq götürüb,kifayət qədər b {\displaystyle b} -ni kənarlaşdıra bilərik: a + a + … + a ⏟ n > b {\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b} Məsələn, seqmentlər üçün Arximed aksiomu belə səslənir: əgər iki seqment verilirsə, onlardan daha kiçik olanı kifayət qədər dəfə təxirə salmaqla daha böyük hissəni örtə bilər. Arximed aksiomu ifadəsi mənasız görünür,lakin əsl mənası sonsuz və ya sonsuz böyük miqdarda olmamasıdır. Beləliklə, bu aksiom qeyri-standart analizdə yerinə yetirilmir: hiperreal ədədlər dəstində sonsuz və sonsuz böyük miqdarlar var. Bu cür elementlər Arximedin aksiomunu qane edə bilməz. Digər nümunələr mümkündür. Arximed əmlakının razı olduğu riyazi quruluşlar,arximediya adlanır,məsələn, Arximed sahəsi və Arximed qrupu və yerinə yetirilməyənlər isə - arximediya deyil. == Tarixi == Riyaziyyatda Arximedin aksiomu kimi tanınan aksiom, əslində ilk olaraq Knidli Evdoks tərəfindən tərtib edilmişdir. Bu təklif əslində əsl ədədlərin ilk aksiomatik nəzəriyyəsi olan münasibətlər nəzəriyyəsində əsas rol oynadı. Buna görə də buna Evdoksun aksiomu da deyilir.

Peano aksiomları — natural ədədlər çoxluğunun təsvirində istifadə edilən, Qiuseppe Peano və Riçard Dedekind tərəfindən irəli sürülmüş dörd əsas və bir köməkçi aksiomdur. Bu aksiomlar aşağıdakılardır: a. Verilən çoxluq boş deyil. Tərkibinə 1 adlandırılan obyekt daxildir. 1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} } b. Hər natural ədəd üçün onun ardıcılı deyilən başqa bir natural ədəd vardır (yalnız bir natural ədəd var). c. Ardıcılığı 1 olan heç bir natural ədəd yoxdur. d. İki natural ədədin ardıcılığı bərabərsə, natural ədədləri də bərabərdir.

Evklidin paralellik aksiomu və ya beşinci postulatı — klassik planimetriyanın əsasını qoyan aksiomlardan biri. İlk dəfə Evklidin "Başlanğıclar" əsərində verilmişdir: Əgər iki düz xəttin üzərinə düşən düz xətt bir tərəfdə iki düz bucaqdan az olan daxili bucaqlar əmələ gətirirsə, qeyri-müəyyən müddətə uzadılırsa, bu düz xətlər bucaqların iki düz bucaqdan az olduğu tərəfdə birləşəcək. Evklid postulat və aksioma anlayışlarından onların fərqlərini izah etmədən istifadə edir; Evklidin Başlanğıclar əsərinin müxtəlif əlyazmalarında müddəaların aksioma və postulatlara bölünməsi fərqlidir, necə ki, onların sırası üst-üstə düşmür. Heyberqin "Principia" adlı klassik nəşrində qeyd olunan iddia beşinci postulatdır.