Diferensiallanan funksiya
Əgər birdəyişənli, yaxud çoxdəyişənli
f
{\displaystyle f}
funksiyasının
P
{\displaystyle P}
nöqtəsində
d
f
{\displaystyle df}
diferensialı varsa, ona bu nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir.
D
{\displaystyle D}
oblastının hər bir nöqtəsində diferensiallanan
f
{\displaystyle f}
funksiyasına bu oblastda diferensiallanan funksiyası deyilir. Çoxdəyişənli
y
=
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
funksiyasının
P
{\displaystyle P}
nöqtəsində (
D
{\displaystyle D}
oblastında) diferensiallanan olması üçün bu nöqtədə (oblastda)onun bütün xüsusi törəmələrinin kəsilməz olması kifayətdir.
== Ədəbiyyat ==
1. M. Mərdanov, S. Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti. Bakı 2016, "Radius nəşriyyatı", 296 səh.
Dövri funksiya
Təbiətdə və texnikada bəzi proseslər periodik olaraq təkrar olunur. Periodik dəyişən kəmiyyətləri öyrənmək üçün dövri funksiya anlayışından istifadə olunur.
Hər bir "x" ədədi ilə birlikdə "x-T" və "x+T" (T sıfırdan fərqli) ədədləri də "f" funksiyasının təyin oblastına daxildirlərsə və
f
(
x
−
T
)
=
f
(
x
)
=
f
(
x
+
T
)
{\displaystyle f(x-T)=f(x)=f(x+T)}
bərabərliyi ödənirsə, f funksiyasına dövrü T olan "dövri funksiya" deyilir.
0 (sıfır) istənilən funksiyanın dövrüdür. Dövrü "0" olan funksiyalar maraqlı deyil. Ona görə də T-ni sıfırdan fərqli qəbul edilir.
Dövri funksiyanın tərifi aşağıdakı teoremlərlə alınır.
== Teoremlər ==
=== Teorem 1: ===
"T" ədədi "f" funksiyasının dövrüdürsə "(-T)" ədədi də "f" funksiyasının dövri olur.
=== Teorem 2: ===
"T1" və "T2" ədədləri f funksiyasının dövrüdürsə
T1+T2 və
T1-T2 ədədləri də f funksiyasının dövrü olur.
=== Teorem 3: ===
T ədədi f funksiyasının dövrüdürsə, n istənilən tam ədəd olduqda "nT" ədədi də f funksiyasının dövrüdür.
Funksiya (riyaziyyat)
Funksiya —
X
{\displaystyle X}
çoxluğunun hər bir elementinə qarşı
Y
{\displaystyle Y}
çoxluğunun bir elementini uyğun qoyan
F
{\displaystyle F}
münasibəti. Bu zaman
X
{\displaystyle X}
çoxluğu
F
{\displaystyle F}
funksiyasının təyin oblastı,
Y
{\displaystyle Y}
çoxluğu isə qiymətlər oblastı adlanır.
F
{\displaystyle F}
funksiyasının
X
{\displaystyle X}
çoxluğunu
Y
{\displaystyle Y}
çoxluğuna qarşı qoyması aşağıdakılardan hər hansı biri ilə işarə olunur:
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F\colon X\to Y}
;
X
⟶
F
Y
{\displaystyle X{\stackrel {F}{\longrightarrow }}Y}
;
y
=
F
(
x
)
{\displaystyle y=F(x)}
;
F
:
x
↦
y
{\displaystyle F\colon x\mapsto y}
;
x
⟼
F
y
{\displaystyle x{\stackrel {F}{\longmapsto }}y}
.
f(x)=Burada x dəyişəni asılı olmayandır, y isə asılı dəyişəndir.
Funksiya 3 üsulla verilir:analitik,cədvəl və qrafik.
Tək funksiya
Funksiya f(-x)=-f(x) şərtini ödəyərsə belə funksiyaya tək funksiya deyilir. Məsələn y=3x funksiyası tək funksiyadır
Qeyd: Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına, yəni (0,0) nöqtəsinə nəzərən; cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna, yeni Oy oxuna nəzərən simmetrik olur.
Qeyd: Triqonometrik funksiyaların təkliyi və ya cütlüyü:
sin(-x)=-sinx (tək)
cos(-x)=cosx (cüt)
tg(-x)=-tgx (tək)
ctg(-x)=-ctgx (tək)
3) Funksiyanın artmasi və azalması:
X çoxluğunda arqumentin böyük qiymətinə funksiyanın böyük qiyməti uyğun gələrsə, f funksiyasına bu coxluqda artan, arqumentin böyük qiymətinə funksiyanın kiçik qiyməti uyğun gələrsə, f funksiyasına bu coxluqda azalan funksiya deyilir.
Yeni, x1,x2€X şərtində x1<x2 ,f(x1)<f(x2) isə, funksiya artan olur.
x1,x2€X şərtində x1<x2, f(x1)>f(x2)isə, funksiya azalan olur
Funksyalar cüt və tək olur.
Funksiya strukturu
Funksiya strukturu — Ümumiləşdirilmiş fraza quruluşu qrammatikası, baş əsaslı fraza quruluşu qrammatikası və leksik funksional qrammatika kimi fraza quruluşu qrammatikalarında xüsusiyyət strukturu mahiyyətcə atribut-qiymət cütləri toplusudur. Məsələn, nömrə adlı atributun tək dəyəri ola bilər. Atribut dəyəri ya atom ola bilər, məs. tək və ya kompleksdəki bir xarakter (əksər hallarda bu xüsusiyyət strukturudur, həm də siyahı və ya dəstdir).
Xüsusiyyət strukturu, qovşaqları dəyişənlərin dəyərlərinə və dəyişən adlarına gedən yollara uyğun gələn yönəldilmiş asiklik qrafik (DAG) kimi təqdim edilə bilər. Obyekt strukturlarında müəyyən edilmiş əməliyyatlar, məs. birləşmələrdən fraza quruluşu qrammatikalarında geniş istifadə olunur. Əksər nəzəriyyələrdə (məsələn, HPSG), xüsusiyyət strukturları adətən qeyri-rəsmi istifadə olunsa da, əməliyyatlar xüsusiyyət strukturlarının özlərində deyil, ciddi şəkildə xüsusiyyət strukturlarını təsvir edən tənliklər üzərində müəyyən edilir.
Burada iki "kateqoriya" və "razılaşma" funksiyası var. "Kateqoriya" "nominal ifadə" dəyərinə malikdir, "razılaşma" dəyəri isə "rəqəm" və "şəxs" xüsusiyyətlərinin "tək" və "üçüncü" olduğu başqa xüsusiyyət strukturu ilə göstərilir.
Heş funksiya
Heş funksiya (Heşləşdirmə. ing. – hashing, rus - xеширование) – istənilən uzunluqlu giriş verilənlərin sabit uzunluqlu ikili sətirə elə çevrilməsidir ki, giriş verilənlərdə hər hansı dəyişiklik (hətta ən kiçik dəyişiklik də) çıxış sətirində ciddi dəyişiklik etsin. Bu çevrilmə adətən heş funksiya və ya bürünmə funksiyası , onun nəticəsi isə heş, heş- kod və ya məlumatın daycesti (ingiliscə message digest) və ya “məlumatın izi” (rus dilində “отпечаткa сообшения”) adlanır.
== Ədəbiyyat ==
Əliquliyev R.M., Ağayev N.B., Alıquliyev R.M., Plagiatlıqla mübarizə texnologiyaları // Bakı. İnformasiya Texnologiyaları nəşriyyatı. 2015.
Kubik funksiya
Cəbrdə kubik funksiya
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
,
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\,}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
olarsa, kubik funksiya
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0.
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,}
Bu tənliyin həlləri
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
çoxhədlisinin kökləri adlanır Əgər
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
və
d
{\displaystyle d}
sabitləri həqiqi ədədlərdirsə, o zaman bu tənliyin ən azı bir həqiqi kökü vardır (Bu, bütün tək dərəcəli çoxhədlilər üçün doğrudur). Kubik funksiyanın bütün kökləri cəbri yolla tapıla bilər. Köklər həmçinin triqonometrik yolla da tapıla bilər. Alternativ olaraq köklər Nyuton metodunun köməyi ilə də tapıla bilər.
Sabitlər kompleks ədəd olmaya da bilər. Həllərin sabitin aid olduğu sahəyə aid olması vacib deyil. Məsələn sabitləri rasional ədədlər olan kubik funksiyaların kökləri irrasional hətta həqiqi olmayan kompleks ədələr də ola bilər.
== Kub funksiyanın böhran nöqtələri və bükülmə nöqtəsi ==
Funksiyanın böhran (kritik) nöqtələri x`in elə qiymətləridir ki orada funksiyanın toxunanı 0`dır. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d funksiyasının böhran nöqtələri x`in elə qiymətində təyin olunur ki, o qiymətdə funksiyanın birinci törəməsi 0 olsun:
3
a
x
2
+
2
b
x
+
c
=
0.
Kəsilməz funksiya
Funksiyanın kəsilməzliyi — əgər
lim
x
→
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}}
f(x)=f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
) (1)
olarsa, yəni f(x) funksiyası x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-da təyin olunub və istənilən Ԑ>0 üçün elə δ=δ(Ԑ,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
) >0 ədədi var ki,
|
x
−
x
0
|
{\displaystyle \left\vert x-x_{0}\right\vert }
˂δ şərtini ödəyən və f(x)-in təyin oblastından olan istənilən x üçün
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
{\displaystyle \left\vert f(x)-f(x_{0})\right\vert }
˂Ԑ
bərabərsizliyi doğrudursa, onda f(x) funksiyası x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-da (və ya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində) kəsilməz adlanır.
Əgər f(x) funksiyası verilmiş X=
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
çoxluğunun (intervalın, parçanın və i.a.) bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, bu funksiya X çoxluğunda kəsilməz adlanır.
Əgər f(x) funksiyasının X=
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
təyin oblastına daxil olan və ya bu çoxluğun limit nöqtəsi olan hər hansı x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində (1) bərabərliyi ödənmirsə (yəni ya (a) f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
) ədədi yoxdur,başqa sözlə,funksiya x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində təyin olunmayıb, ya (b) lim{x \to
x
0
{\displaystyle x_{0}}
}{f(x)} yoxdur, ya da (c) (1) düsturunun hər iki tərəfinin mənası var,lakin onlar bir-birinə bərabər deyil), onda
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsi adlanır.
Kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi fərqləndirirlər: 1) I növ kəsilmə nöqtəsi elə
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsinə deyilir ki, bu nöqtədə sonlu sol və sağ limitləri
f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0)=
lim
x
→
x
0
−
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}-0}}
f(x), f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0)=
lim
x
→
x
0
+
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}+0}}
f(x)
var;2) II növ kəsilmə - bütün qalan nöqtələrdir.
f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0) - f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0)
fərqi
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində funksiyanın sıçrayışı adlanır.
Əgər
f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0) = f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0)
bərabərliyi ödənərsə, onda
x
0
{\displaystyle x_{0}}
kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilən adlanır. Əgər f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0) və ya f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0) limitlərindən heç olmasa biri ∞ simvoluna bərabərdirsə, onda
x
0
{\displaystyle x_{0}}
sonsuz kəsilmə nöqtəsi adlanır.
Əgər
f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0) = f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
) f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0) = f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)
bərabərliyi ödənərsə, onda f(x) funksiyasına
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində soldan (sağdan) kəsilməz deyilir. f(x) funksiyasının
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində kəsilməzliyi üçün zəruri və kafi şərt üç ədədin bərabərliyidir:
f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-0) = f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
+0) = f(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)
2.Elementar funksiyaların kəsilməzliyi.Əgər f(x) və g(x) funksiyaları x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nöqtəsində kəsilməzdirlərsə,onda
a)f(x) ± g(x) b)f(x)g(x) c)
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}
(g(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)≠0)
funksiyaları da x=
x
0
{\displaystyle x_{0}}
-da kəsilməzdir.
Xüsusi halda: a) tam rasional
P(x)=
a
0
{\displaystyle a_{0}}
+
a
1
{\displaystyle a_{1}}
x+...+
a
n
{\displaystyle a_{n}}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
funksiyası istənilən x nötəsində kəsilməzdir; b) kəsr rasional
R(x)=
a
0
+
a
1
x
+
.
Mürəkkəb funksiya
Tutaq ki,
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)}
və
z
=
f
(
y
)
{\displaystyle z=f(y)}
uyğun olaraq
X
{\displaystyle X}
və
Y
{\displaystyle Y}
çoxluqlarında təyin olunan funksiyalardır, eyni zamanda
φ
{\displaystyle \varphi }
funksiyasının qiymətlər çoxluğu
f
{\displaystyle f}
funksiyasının təyin oblastında yerləşir. Onda hər bir
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
nöqtəsində qiyməti
F
(
x
)
=
f
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle F(x)=f[\varphi (x)]}
olan funksiya mürəkkəb funksiya və ya
φ
{\displaystyle \varphi }
və
f
{\displaystyle f}
funksiyalarının superpazisiyası (kompazisiyası) adlanır.
z
=
f
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle z=f[\varphi (x)]}
yazılışında
y
{\displaystyle y}
aralıq arqument,
x
{\displaystyle x}
isə əsas arqument və ya sərbəst dəyişən adlanır, eyni zamanda
φ
{\displaystyle \varphi }
funksiyası daxili,
f
{\displaystyle f}
funksiyası isə xarici funksiya adlanır. Mürəkkəb funksiyada əməllər sağdan sola yerinə yetirilir, daha doğrusu öncə
φ
{\displaystyle \varphi }
funksiyası üzərində sonra isə
f
{\displaystyle f}
funksiyası üzərində əməllər yerinə yetirilir. Qeyd edək ki, mürəkkəb funksiyanın aralıq arqumentlərinin sayı iki və daha çox ola bilər. Məsələn,
z
=
f
(
y
)
{\displaystyle z=f(y)}
,
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)}
,
x
=
y
(
t
)
{\displaystyle x=y(t)}
münasibətlərində aralıq arqumentlərin sayı ikiyə bərabərdir:
y
{\displaystyle y}
və
x
{\displaystyle x}
. Onda mürəkkəb funksiyanı belə yazmaq olar
z
=
f
(
φ
(
y
(
t
)
)
)
{\displaystyle z=f(\varphi (y(t)))}
və ya
z
=
f
{
φ
[
y
(
t
)
]
}
{\displaystyle z=f\{\varphi [y(t)]}\}
.
Bu mürəkkəb funksiyanın «zəncirvari» yazılışıdır.
Triqonometrik funksiya
Triqonometrik funksiyalar — elementar funksiyalarin bir növüdür. Onlara sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), sekans (sec x) və kosekans (cosec x) funksiyalarını aid edirlər. Triqonometrik funksiyalar adətən həndəsi yolla təyin olunur, lakin onları analitik və bəzi differensial tənliklərin həlli şəklində də təyin etmək mümkündür. Belə hallarda triqonometrik funksiyaların təyin oblastı kompleks ədədləri də əhatə edir.
== Triqonometrik funksiyaların təyin olunma yolları ==
Triqonometrik funksiyaları adətən həndəsi yolla təyin edirlər. Fərz edək ki, müstəvidə dekart koordinat sistemində, mərkəzi koordinat başlanğıcı O nöqtəsində olmaqla R radiuslu çevrə var. Bucaqları absis oxunun müsbət istiqamətdə OB şüasına qədər dönməsi kimi qəbul edirik. Saat əqrəbinin hərəkəti istiqaməti mənfi, əks istiqamət isə müsbət hesab edilir. B nöqtəsinin koordinatlaını dekart koordinat sistemində (xB, yB) kimi qeyd edək.
Tərs funksiya
Tutaq ki,
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
,
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in D(f)}
ədədi funksiya verilmişdir. Onda hər bir
x
0
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x_{0}\in D(f)}
ədədinə yeganə
y
0
=
f
(
x
0
)
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0})\in E(f)}
ədədi uyğundur. Funksiyanın verilən
y
0
{\displaystyle y_{0}}
qiymətinə görə arqumentin uyğun qiymətinin tapılmasına, daha doğrusu
f
(
x
)
=
y
0
{\displaystyle f(x)=y_{0}}
,
y
0
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y_{0}\in E(f)}
tənliyinin
x
{\displaystyle x}
-ə nəzərən həllinə tez-tez rast gəlinir. Həmin tənliyin bir yox, bir neçə və hətta sonsuz sayda həlli ola
bilər.
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiyasının qrafiki ilə
y
=
y
0
{\displaystyle y=y_{0}}
düz xəttinin kəsişdiyi bütün nöqtələrin absisləri
f
(
x
)
=
y
0
{\displaystyle f(x)=y_{0}}
tənliyinin
Əgər
f
{\displaystyle f}
funksiyası hər bir
y
0
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y_{0}\in E(f)}
qiymətini ancaq yeganə bir
x
0
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x_{0}\in D(f)}
qiymətində alırsa, onda o
funksiya dönən adlanır. Belə funksiyalar üçün
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
tənliyini istənilən
y
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y\in E(f)}
qiymətində x-ə nəzərən birqiymətli həll etmək olar, daha doğrusu hər bir
y
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y\in E(f)}
qiymətinə yeganə
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in D(f)}
qiyməti uyğundur. Bu uyğunluq funksiya təyin edir, özü də
f
{\displaystyle f}
funksiyasının tərsi
adlanır və
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
simvolu ilə işarə olunur.
Qeyd edək ki, hər bir
y
0
∈
E
(
f
)
{\displaystyle y_{0}\in E(f)}
üçün
y
=
y
0
{\displaystyle y=y_{0}}
düz xətti dönən
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiyasının qrafikini yeganə
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
nöqtəsində kəsir, burada
f
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}
.
Tərs funksiyanın arqumentini
x
{\displaystyle x}
hərfi ilə, onun qiymətini isə –
y
{\displaystyle y}
hərfi ilə işarə edərək,
f
{\displaystyle f}
funksiyasının
tərs funksiyasını
y
=
f
−
1
(
x
)
,
x
∈
D
(
f
−
1
)
{\displaystyle y=f^{-1}(x),x\in D(f^{-1})}
,
şəklində yazırlar. Sadəlik üçün
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
simvolu əvəzinə
g
{\displaystyle g}
hərfindən istifadə edəcəyik.
Xətti funksiya
Xətti funksiya —
y
=
k
x
+
b
.
{\displaystyle y=kx+b.}
şəklində funksiya.
Təyin oblastı: D(y)=R;
Bunun təyin oblastıdır.
Qiymətlər çoxluğu: E(y)=R
Artımı arqumentin artımı ilə mütənasibdir, qrafiki isə düz xətdir. Koordinat oxları üzərində miqyas eynidirsə, k bucaq əmsalı xətti funksiya qrafiki ilə Absis (Ox) oxu arasındakı
ϕ
{\displaystyle \phi }
bucağın tangensinə bərabərdir (k=tg
ϕ
{\displaystyle \phi }
). b=0 olarsa, Xətti funksiya bircinsdir, qrafiki isə y=kx mütənasibliyini təsvir edir. Fizika və texnikada müxtəlif kəmiyyətlər arasındakı asılılığın təsviri üçün tətbiq edilir. Çoxdəyişənli xətti funksiya xətti forma adlanır. Arqument və funksiya vektorlardırsa, bircins xətti funksiya xətti çevirmədir.
== Xassələri ==
k
{\displaystyle k}
əmsalı funksiya qrafikinin absis oxu ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə bərabərdir.
İbtidai funksiya
İbtidai funksiya (və ya qeyri müəyyən inteqral; törəmənin əksi) verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F(x)=f'(x) bərabərliyini ödəyən funksiya. F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Nümunə: Göstərək ki,
F
(
x
)
=
3
x
4
{\displaystyle F(x)=3x^{4}}
funksiyası
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ;+\infty )}
aralığında
f
(
x
)
=
12
x
3
{\displaystyle f(x)=12x^{3}}
funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.
F
′
(
x
)
=
(
3
x
4
)
′
=
3
(
x
4
)
′
=
3
⋅
4
x
3
=
12
x
3
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=(3x^{4})'=3(x^{4})'=3\cdot 4x^{3}=12x^{3}=f(x)}
Doğrudan da aralığının istənilən nöqtəsində bərabərliyi ödənilir. Tutaq ki funksiyası verilmiş aralıqda kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Onda ixtiyarı sabitı üçün funksiyası da həmin aralıqda funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.
== Əsas xassələri ==
Qeyri müəyyən inteqralın (ibtidai funksiya) aşağıdakı xassələri var.1: Qeyri müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiya diferensialı isə inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
′
=
f
(
x
)
{\displaystyle (\int f(x)dx)'=f(x)}
d
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
=
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle d(\int f(x)dx)=f(x)dx}
İsbatı: Tutaq ki, F(x) funksiya ibtidai f(x)-sin funksiyasıdır: F(x)=f(x). Onda
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alsaq,
∫
f
(
x
)
d
x
=
(
F
(
x
)
+
C
)
′
=
F
′
(
x
)
+
C
′
{\displaystyle \int f(x)dx=(F(x)+C)'=F'(x)+C'}
,yəni
∫
f
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
{\displaystyle \int f(x)dx=f(x)}
.2.Kəsilməz törəməsi olan F(x) funksiyasını törəməsinin qeyri-müəyyən inteqralı onun özündən sabit toplananla fərqlənir, yəni
∫
F
′
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int F'(x)dx=F(x)+C}
və ya
∫
d
F
′
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int dF'(x)dx=F(x)+C}
.Burada F(x)-kəsilməz diferensiallanan funksiyadır. Bu xassə, bilavasitə qeyri-müəyyən inteqralın tərifindən alınır.3.Sıfırdan fərqli sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.
Funksiyaların kompozisiyası və ya mürəkkəb funksiya
Fərz edək ki,
f
{\displaystyle f}
funksiyası
A
{\displaystyle A}
çoxluğunu
B
{\displaystyle B}
çoxluğuna çevirir.
g
{\displaystyle g}
funksiyası isə
B
{\displaystyle B}
çoxluğunu
C
{\displaystyle C}
çoxluğuna çevirir. Yəni
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
olduqda
f
(
x
)
∈
B
{\displaystyle f(x)\in B}
,
y
∈
B
{\displaystyle y\in B}
olduqda isə
g
(
y
)
∈
C
{\displaystyle g(y)\in C}
olur. Beləliklə bu iki funksiyanın ardıcıl tətbiqi ilə
A
{\displaystyle A}
çoxluğunu
C
{\displaystyle C}
çoxluğuna çevrilir. Bu iki funksiyanın ardıcıl tətbiqi nəticəsində
A
{\displaystyle A}
çoxluğunu
C
{\displaystyle C}
çoxluğuna çevirən funksiyaya
f
{\displaystyle f}
və
g
{\displaystyle g}
funksiyalarının kompozisiyası deyilir və
g
∘
f
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g\circ f=g(f(x))}
kimi işarə olunur.
h
=
g
∘
f
{\displaystyle h=g\circ f}
funksiyasına mürəkkəb funksiya deyilir. Eyni qayda ilə üç və daha artıq funksiyanın kompozisiyası təyin olunur.
Banksia
Banksiya (lat. Banksia) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinə aid bitki cinsi.
== Növləri ==
Banksia aculeata A.S.George
Banksia aemula R.Br.
Banksia aquilonia (A.S.George) A.S.George
Banksia ashbyi Baker f.
Banksia attenuata R.Br.
Banksia audax C.A.Gardner
Banksia baueri R.Br.
Banksia baxteri R.Br.
Banksia benthamiana C.A.Gardner
Banksia blechnifolia F.Muell.
Banksia brevidentata (A.S.George) K.R.Thiele
Banksia brownii Baxter ex R.Br. Accepted
Banksia burdettii Baker f.
Banksia caleyi R.Br.
Banksia pseudoplumosa
Banksia pseudoplumosa (lat. Banksia pseudoplumosa) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia pteridifolia
Banksia pteridifolia (lat. Banksia pteridifolia) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia pulchella
Banksia pulchella (lat. Banksia pulchella) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia purdieana
Banksia purdieana (lat. Banksia purdieana) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia quercifolia
Banksia quercifolia (lat. Banksia quercifolia) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia repens
Banksia repens (lat. Banksia repens) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
Banksia robur
Banksia robur (lat. Banksia robur) — bitkilər aləminin proteyaçiçəklilər dəstəsinin proteyakimilər fəsiləsinin banksiya cinsinə aid bitki növü.
