Bütöv mühit mexanikası

Bütöv mühit mexanikası mexanikanın bir bölməsi olub materialların mexaniki xassəsini və kinematik analizini öyrənir. Materiallar diskret paylanmış hissəciklər şəklində yox, bütöv (arasıkəsilməz paylanmış) kütlə şəklində modelləşdirilir. Belə bir model ilk dəfə XIX əsrdə Fransız riyaziyyatçısı Auqusto Koşi (fr. Augustin Louis Cauchy) tərəfindən ifadə edilmişdir, amma tədqiqatlar bu gün də davam etdirilir.

Bütöv mühit mexanikası

Tarixi Qanunlar Enerji · Kütlə · Moment Bərk cisim mexanikası Gərginlik · Deformasiya · Elastiklik · Plastiklik · Əyilmə · Huk qanunu · Kontakt mexanikası Maye mexanikası Statika · Dinamikası · Arixmed prinsipi · Bernulli prinsipi · Navier–Stokes tənlikləri · Poiseuille tənliyi · Paskal qanunu · Özlülük (Nyuton mayesi · Qeyri-Nyuton mayesi) · Təzyiq Səthi gərilmə Atmosphere · Boyl qanunu · Şarl qanunu · Gay-Lussac qanunu Reologiya Viskoelastiklik · Reometriya · Reometer Magnetoreoloji maye · Elektroreoloji maye · Ferromayelər Alimlər Bernoulli · Boyl · Koşi · Şarl · Eyler · Huk · Paskal · Nyuton

bax müzakirə redaktə

Klassik mexanika

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})}$ Nyutonun ikinci qanunu

Tarixi Fundamental anlayışlar Fəza • Zaman • Kütlə • Qüvvə • Enerji • İmpuls İfadələr Nyuton mexanikası Lanqraj mexanikası Hamilton mexanikası Hamilton-Yakobi formalizmi? Bölmələri Tətbiqi mexanika Fəza mexanikası Bütöv mühit mexanikası Həndəsi optika Statistik mexanika Alimlər Qalileo Qaliley • İohan Kepler • İsaak Nyuton • Leonard Eyler • Pyer Simon Laplas • Jan Leron Dalamber • Jozef Lui Laqranj • Vilyam Hamilton • Auqusto Koşi

bax müzakirə redaktə

Bir obyektin bütöv cisim şəklində modelləşdirilməsi dedikdə obyekti təşkil edən cismin obyektin tutduğu fəzanı tamamilə doldurması fərziyyəsi nəzərdə tutulur. Obyektin belə modelləşdirilməsi maddənin atomlardan təşkil olunmasını və beləliklə bütöv olmamasını nəzərə almır. Buna baxmayaraq atomlar arası məsafələrdən qat-qat böyük ölçü miqyaslarında belə modellər olduqca dəqiqdir. Belə obyektlərin xassəsini təsvir edən differensial tənliklərin çıxarılması üçün kütlənin saxlanması, momentin müvazinəti və enerjinin müvazinəti kimi özül fizika qanunlarını belə modellərə tətbiq etmək olar.

Bütöv mühit mexanikası bərk, maye və qazların fiziki xassələrini onların müşahidə edildiyi istənilən xüsusi koordinat sistemindən asılı olmadan öyrənir. Beləliklə, bu fiziki xassələr tenzorlarla ifadə edilir ki, tenzorlar tələb olunan xassəyə malik riyazi predmet olub koordinat sistemindən asılı deyildir. Bu tenzorlar hesablamanı asanlaşdırmaq üçün koordinat sistemləri ilə də ifadə oluna bilər.

Bərk, maye və qazlar kimi materiallar "boş" fəza ilə bir-birindən ayrılmış molekullardan təşkil olunub. Mikroskopik ölçüdə, materiallarda çatlar və kəsilmələr (materialın bütöv və davamlı olmaması, onlarda qüsurların olması nəzərdə tutulur) mövcuddur. Buna baxmayaraq, müəyyən fiziki hadisələr "bütöv mühit - cisimdəki maddə miqdarı kəsilməz yayılmışdır və cismin tutduğu fəzanı tamamilə doldurur deməkdir" fərziyyəsi qəbul olunmaqla modelləşdirilə bilər. Bir bütöv mühit elə bir cisimdir ki, o davamlı olaraq çox kiçik elementlərə bölündükdə belə, bu kiçik hissəciklər əsas cismin xassələrini özündə saxlayır.

Bütöv mühit mexanikası Bütöv (kəsilməz) materialların fizikasını öyrənən elm	Bərk cisim mexanikası Müəyyən olunmuş dayanıqlı formaya malik bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.	Elastiklik Tətbiq olunmuş gərginliklər götürüldükdən sonra materialın dayanıqlı vəziyyətinə qayıtmasını təsvir edir.
		Plastiklik Kifayət həddə qüvvə tətbiq edildikdə qalıq deformasiyaya uğrayan materialları təsvir edir.	Reologiya Bərk və maye xüsusiyyətinə malik materialları öyrənən elm .
	Hidromexanika Qüvvə tətbiq olunduqda formasını dəyişən bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.	Qeyri-Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalmır.
		Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalır.

Bütöv mühit mexanikası modeli, modelləşdiriləcək material cisim ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-nin üç-ölçülü Evklid fəzasında müəyyən bir sahədə yerləşdirilməsi ilə başlanır. Həmin sahədəki nöqtələr, hissəciklər və ya material nöqtələri adlandırılır. Deformasiyaya uğrayan cisim Evklid fəzasında ilkin yerləşmə sahəsindən yerini dəyişməyə başlayır. Deformasiyanın hər anında cismin fəzada tutduğu hər bir sahə bu cismin konfiqurasiyası və ya halı adlandırılır. ${\displaystyle \ t}$ zamanında cismin konfiqurasiyasına uyğun sahə ${\displaystyle \ \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ilə işarələnir.

Cisim daxilindəki hər hansı bir hissəciyin müəyyən bir konfiqurasiyada vəziyyəti radius-vektoru ilə ifadə edilir

${\displaystyle \ \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

Burada ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ həll olunacaq məsələ üçün təyin olunmuş hesablama sistemində koordinant vektorlarıdır (Bax şəkil 1). Bu vektor eyni zamanda həmin hissəciyin hər hansı bir seçilmiş istinad konfiqurasiyasında (adətən cismin deformasiya olunmamış ilkin yerləşmə konfiqurasiyası istinad və ya (hərəkətin və ya processin) başlanğıc konfiqurasiyası kimi seçilir) vəziyyəti (koordinantları) ${\displaystyle \mathbf {X} }$-in funksiyası kimi ifadə edilə bilər, belə ki

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Bu funksiya fiziki məna verməsi üçün müxtəlif xassəllərə malik olmalıdır. ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$:

• zamanda kəsilməzdir, yəni cisimin dəyişməsi reallığı əks edirir,
• istənilən bütün zaman kəsiyində tərs funksiyasına malikdir, yəni cisimdə heç bir hissəcik yox olmur və ya yenisi yaranmır (riyazi olaraq bu, hissəciklərin deformasiya olunmuş və deformasiya olunmamış konfiqurasiyalarda birin-birə əlaqələrinin olmasını nəzərdə tutur),
• dəyişməz oriyentasiyalıdır, yəni təbiətdə heç bir tansformasiya cisimdə güzgü əksi yaratmır.

Modelin riyazi ifadəsi üçün, ${\displaystyle \ \kappa _{t}(\cdot )}$-nin iki dəfə kəsilməz differensiallanan olması fərz olunur, bununla da cismin hərəkətini təyin edən differensial tənliklər ifadə oluna bilər.

Bütöv mühit mexanikası mütləq bərk cisminlərin əksinə deformasiya olunan cisimlərlə məşğuldur. Bərk cisim deformasiya oluna bilən cisim olub kəsici müqavimətə, yəni kəsici qüvvələrə (cismin səthinə parallel təsir göstərən qüvvə nəzərdə tutulur) qarşı müqavimətə, malikdir. Anacaq mayelər belə müqavimətə malik deyillər. Maye və bərk cisimləri tədqiq etmək üçün onların bütöv olması fərz olunur, yəni onların həcimlərinin, tutduqları fəzanın bütün sahəsini doldurması nəzərdə tutulur. Ona görə də, bütov mühit mexanikasında cisimdəki nöqtə və ya hissəcikdən danışıldıqda bu hər hansı bir atom hissəciyi və ya atom miqyasında bir nöqtə deyil, bu nöqtəni əhatə edən cismin ideallaşdırılmış bir hissəsi nəzərdə tutulur.

Nyuton və Eyler-in klassik dinamikasına əsaslanaraq, bir maddi cismin hərəkəti ona tədbiq olunmuş xarici qüvvələrin təsirindən yaranır. Bu qüvvələrin iki cür: səthi qüvvələr ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$ və həcmi qüvvələr ${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$ olması fərz olunur.^[1] Beləliklə, cisimə və ya onun bir hissəsinə tədbiq edilmiş yekun qüvvə ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ belə ifadə oluna bilər:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{B}+\mathbf {F} _{C}}$

Səthi qüvvələr və ya təmas qüvvələri vahid sahəyə düşən qüvvə kimi ifadə olunur. Bu qüvvələr ya bir cismin başqa cisimlərlə təması nəticəsində onun sərhəd səthinə, ya da bir cismin hissələri arasındakı mexaniki qarşılıqlı təsiri nəticəsinə təsir səthinin hər iki tərəfinə təsir göstərə bilər. Bir cismə xarici təmas qüvvələri təsir etdikdə, bu zaman daxili təmas qüvvəlləri Nyutonun üçüncü hərəkət qanuna və eləcədə bucaq momentinin və xətli momentin saxlanması qanunlarına görə cisim daxilində nöqtədən nöqtəyə ötürülməklə müvazinətləşir (bütöv mühit mexanikasında bu qanunlar Eylerin hərəkət qanunları adlandırılır). Daxili təmas qüvvələri, material tənlikləri (materialın fiziki xarakteristikasını məs. elatiklik, plastiklik və s. təyin edən tənliklər) vasitəsilə cismin deformasiyası ilə əlaqələndirilir.^[2]

Daxili qüvvələrin cismin bütün həcmində kəsilməz olaraq yayılması fərz edilir. Beləliklə, daxili qüvvələr təmas qüvvə sıxlığı və ya Koşi dartma sahəsi ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ilə ifadə edilə bilər. Koşi dartma sahəsi ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$, daxili qüvvələrin yayılmasını müəyyən bir konfiqurasiya üçün müəyyən bir ${\displaystyle t\,\!}$ zamanında təmsil edir. Bu sahə ancaq material nöqtəsinin yeri ${\displaystyle \mathbf {x} }$-dən asılı deyil eyni zamanda səth elementinin yerli (lokal) oriyentasiyası ${\displaystyle \mathbf {n} }$-dən ("yerli oriyentasiya" ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ sahəsinin ${\displaystyle \mathbf {x} }$-dəki oriyentasiyasını bildirir) də asılıdır. Ona görə də, bu sahə vektor sahəsi deyildir.^[3]

Verilmimş bir daxili ${\displaystyle S\,\!}$ səthinin hər hansı ${\displaystyle \mathbf {n} }$ normal vektoruna malik differensial ${\displaystyle dS\,\!}$ sahəsi differensial ${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ təmas qüvvəsinə məruz qalır. Bu qüvvə, cismin ${\displaystyle S\,\!}$ səthinin hər iki tərəfindəki hissələri arasındakı təmasının nəticəsindən yaranır və belə ifadə olunur

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$.

Burada ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ səthi dartqı,^[4] və ya gərginlik vektoru,^[5], dartqı,^[6] və ya dartma vektoru.^[7] adlandırılır. Gərginlik vektoru koordinat sisteminin dəyişməsinə nəzərən invariantdır.

Xüsusi səthdəki yekun təmas qüvvəsi ${\displaystyle S\,\!}$ bütün differensial səthlərdəki ${\displaystyle dS\,\!}$ təmas qüvvələrinin cəmi (sahə inteqralı) kimi ifadə edilir:

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

Bütöv mühit mexanikasında bir cisim o halda gərginliksiz hesab edilir ki, yeganə mövcud qüvvəllər atomlar arası (ionik, metalik, və Van-der-Vaals) qüvvələrdir ki, bu qüvvələr də bütün xarici təsirlərin (yerin cazibə qüvvəsi də bura daxildir) yoxluğunda, cismin özünü saxlaması və formasını qoruması üçün vacibdir.^[7][8] Cismin istehsalı zamanı yaranan gərginliklər də, hesablanma zamanı istisna edilir. Beləliklə, bütöv mühit mexanikasında gərginliklər adətən qəbul olunmuş ilkin konfiqurasiyaya nəzərən deformasiyanın yaratdığı gərginlikləri nəzərdə tutur. Başqa sözlə, cisimdəki gərginliyin mütləq (gerçək) qiymətinə deyil, yalnız gərginlikdəki nisbi dəyişmələrə baxılır.

Həcmi qüvvələr cismin həcminə (və ya kütləsinə) xaricdən^[9] təsir göstərən qüvvələrdir. Həcmi qüvvələrin xaricdən təsir edən qüvvələr olduğunu deməklə, biz fərz edirik ki, cismin müxtəlif hissələri arasındakı qarşılıqlı təsir (daxili qüvvələr) yalnız təmas (kontakt) qüvvələri ilə verilir.^[10] Həcmi qüvvələr cismin, məs. qravitasiya sahəsi, elektrik sahəsi və ya maqnit sahəsi kimi qüvvə sahələrində yerləşməsindən yaranır. Bütöv cismin kütləsinin kəsilməz paylandığı fərz edildiyindən, bu kütlədən qaynaqlanan istənilən qüvvə də kəsilməz paylanacaqdır. Beləliklə, həcmi qüvvələr cismin bütün həcmi üzrə kəsilməz olan, yəni cismin hər bir nöqtəsinə təsir edən, vektor sahələri ilə verilir.^[11] Həcmi qüvvələr həcmi qüvvə sıxlığı (vahid kütləyə düşən qüvvə) ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ ilə təsvir edilir. Bu qüvvələr koordinant sisteminin seçilməsindən asılı deyildir.

Həcmi qüvvələr qravitasiya qüvvələri olduqda, bu qüvvənin intensivliyi materialın kütlə sıxlığı ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$ ilə düz mütənasib olur və vahid kütləyə düşən qüvvə (${\displaystyle b_{i}\,\!}$) yaxud vahid həcmə düşən qüvvə (${\displaystyle p_{i}\,\!}$) şəklində verilə bilər. Bu iki kəmiyyət bir-biri ilə materialın sıxlığı ilə əlaqələndirilir, yəni ${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$. Oxşar olaraq, elektrik qüvvələrinin intensivliyi elektrik yükünün miqdarından asılıdır.

Bir bütöv cismə təsir göstərən bütün həcmi qüvvələr belə təsvir edilir

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Cismə təsir göstərən həcmi qüvvələr və təmas qüvvələri müəyyən bir nöqtəyə nəzərən müvafiq qüvvə momentləri (fırladıcı momentlər) yaradır. Beləliklə, bütün tətbiq olunmuş fırladıcı moment ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ koordiant başlanğıcına görə belə ifadə edilir

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

Bütöv cismin konfiqurasiyasının dəyişməsi yerdəyişmə sahəsi ilə təsvir edilir. Cismin yerdəyişməsinin iki tərkib hissəsi mövcuddur: mütləq-cisim yerdəyişməsi və deformasiya. Mütləq-cisim yerdəyişməsi, cismin forma və ölçülərini dəyişməyən eyni anda baş verən irəlilləmə və fırlanma hərəkətlərindən təşkil olunur. Deformasiya, cismin başlanğıc vəziyyətinə nəzərən forma və ya ölçülərini dəyişməsini bildirir. Cismin başlanğıc vəziyyəti onun başlanğıc və ya istinad konfiqurasiyası (${\displaystyle \ \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$) və deformasiya olunmuş vəziyyəti isə onun cari və ya deformasiya olunmuş konfiqurasiyası (${\displaystyle \ \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$) adlanır (Şəkil 2).

Bütöv bir cismin hərəkəti yerdəyişmələrin zamanda kəsilməz ardıcıllığından ibarətdir. Beləliklə, material cisim müxtəlif zaman anlarında müxtəlif konfiqurasiyaları tutur ki, cismin istənilən bir hissəciyi də fəzada uyğun olaraq müəyyən nöqtələr sırasınında yerini dəyişir. Bu nöqtələr sırası həmin hissəciyin trayektoriyasını təsvir edir.

Bütöv cisimin deformasiyası və ya hərəkəti ərzində aşağıdakı mənada kəsilməzlik vardır:

• İstənilən bir zaman anında qapalı bir əyri meydana gətirən material nöqtələri, sonrakı istənilən zaman ardıcıllığına da həmişə qapalı bir əyri meydana gətirəcəklər.
• İstənilən bir zaman anında qapalı bir səth meydana gətirən material nöqtələri, sonrakı istənilən zaman ardıcıllığında da həmişə qapalı bir səth meydana gətirəcəklər və bu qapalı səth daxilindəki maddə həmişə bu səth daxilində qalacaqdır.

Bütöv mühit mexanikası materialların xassələri ilə məşğul olur ki, onlar müəyyən uzunluq və zaman miqyasları üçün kəsilməz olaraq təqribi hesablana bilər. Materialların mexanikasını təyin edən belə tənliklərə kütlə, moment və enerji üçün müvazinət (balans və ya saxlanma) qanunları daxildir. Əsas (idarəedici) tənliklər sistemini tamlamaq üçün kinematik asılılıqlar və material tənlikləri lazım gəlir. Material asılılıqları formasına fiziki məhdudiyyətlər termodinamikanın ikinci qanunu-nun bütün şərtlərdə təmin edilməsi tələbi ilə tətbiq edilə bilər. Bərk cisimlərin bütöv mühit mexanikasında, əgər entropiya bərabərsizliyi Clausius–Duhem şəklində təmin edilmişdirsə, termodinamikanın ikinci qanunu təmin edilmiş hesab olunur.

Müvazinət qanunları vahid həcmdə bir kəmiyyətin (kütlə, moment, enerji) dəyişmə tezliyinin üç səbəbdən yaranması ideyasını ifadə edir:

1. fiziki kəmiyyət özlüyündə həcmi hüdudlandıran (sərhədləndirən) səthindən axır,
2. həcmin səthində fiziki kəmiyyətin qaynağı (mənbəyi) mövcuddur, yaxud/və,
3. həcm daxilində fiziki kəmiyyətin qaynağı vardır.

Gəlin, ${\displaystyle \Omega }$ ilə cisimi (Evkilid fəzasında bir açıq altçoxluq) və ${\displaystyle \partial \Omega }$ ilə isə onun səthini (${\displaystyle \Omega }$-nın sərhəddi) göstərək.

Cisim daxilindəki material nöqtələri aşağıdakı tənliklə deformasiya olunur

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

burada, ${\displaystyle \mathbf {X} }$ başlanğıc konfiqurasiyada hər hansı bir nöqtənin vəziyyətini (yerini) və ${\displaystyle \mathbf {x} }$ isə deformasiya olunmuş konfiqurasiyada nöqtənin yerini göstərir.

Deformasiya qradiyenti verilir

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla {\boldsymbol {\mathbf {x} }}~.}$

Qoy ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ cisim daxilində axaran hər hansı bir fiziki kəmiyyət olsun. Eləcə də gəlin ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$-lə cismin səthindəki qanaqları, ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$-lə isə daxilindəki qaynaqları işarələyək. Gəlin ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$-in cismin ${\displaystyle \partial \Omega }$ səthinin vahid normalını işarələməsini qəbul edək. ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ isə axan fiziki kəmiyyəti özləri ilə daşıyan fiziki hissəciklərin axın sürətini nəzərdə tutur. Eyni ${\displaystyle \partial \Omega }$ hərəkət sürəti ${\displaystyle u_{n}}$ (${\displaystyle \mathbf {n} }$ istiqamətində) işarələnir.

Onda, müvazinət qanunları aşağıdakı ümumi formada ifadə edilə bilər

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Nəzər alın ki, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$, ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$, və ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ funksiyaları skalyar, vektorial və ya tenzorial qiymətli funksiyalar ola bilər ki, bu da müvazinət qanununa daxil olan fiziki kəmiyyətdən asılıdır. Əgər cisimdə daxili sərhədlər, sıçrayışlı kəsilmələr olarsa, onlar da müvazinət qanunlarında nəzərdə tutulmalıdır.

Əgər biz Eyler nöqteyi nəzərdən çıxış etsək, kütlə, moment, bucaq momenti və enerji üçün müvazinət qanunlarının aşağıdakı şəkildə olacağını göstərmək olar (kütlə və bucaq momenti üçün qaynaq həddlərin sıfır olduğu fərz olunur)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=0&&\qquad {\text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Xətli momentin müvazinəti (Koşinin birinci hərəkət qanunu)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Bucaq momentinin müvazinəti (Koşinin ikinci hərəkət qanunu)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Enerjinin müvazinəti.}}\end{aligned}}}$

Yuxarıdakı bərabərliklərdə ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ — kütlə sıxlığı (cari), ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ — ${\displaystyle \rho }$-nun material zaman törəməsi, ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ — hissəciyin sürəti, ${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$ — ${\displaystyle \mathbf {v} }$-nin material zaman törəməsi, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$ — Koşi gərginlik tenzoru, ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ — həcmi qüvvə sıxlığı, ${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$ — vahid kütləyə düşən daxili enerji, ${\displaystyle {\dot {e}}}$ — ${\displaystyle e}$-nin material zaman törəməsi, ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ — istilik seli vektoru, və ${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$ — vahid kütləyə düşən enerji qaynağıdır.

İstinad konfiqurasiyasına (Laqranj nöqteyi nəzərdən) nəzərən, müvazinət qanunları aşağıdakı kimi yazıla bilər

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Xətli momentin müvazinəti}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Bucaq momentinin müvazinəti}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Enerjinin müvazinəti.}}\end{aligned}}}$

Yuxarıda, ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzoru, ${\displaystyle \rho _{0}}$ isə istinad konfiqurasiyasında kütlə sıxlığıdır. Birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzoru ilə Koşi gərginlik tenzoru arasında aşağıdakı aşğıdakı əlaqə mövcuddur

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Biz əlavə olaraq birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzorunun transponiri olan nominal gərginlik tenzoru ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$-i təyin edirik.

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Beləliklə müvazinət qanunları aşağıdakı kimi də verilə bilər

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Xətli momentin müvazinəti}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Bucaq momentinin müvazinəti}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Enerjinin müvazinəti.}}\end{aligned}}}$

Yuxarıdakı tənliklərdəki operatorlar belə təyin edilmişdir

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

harada ${\displaystyle \mathbf {v} }$ bir vektor sahəsini, ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ bir ikinci tərtib tenzor sahəsini, və ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ isə cari konfiqurasiyada ortonormal bazisin komponentləridir. Eyni ilə,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

harada ${\displaystyle \mathbf {v} }$ bir vektor sahəsini, ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ bir ikinci ətrtib tenzor sahəsini, və ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$ isə istinad konfiqurasiyada ortonormal bazisin komponentləridir.

İkinci tərtib tenzorların daxili hasili (skalyar hasili) belə təyin edilmişdir

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Klausius-Duhem bərabərsizliyi elastik-plastik materiallarda termodinamikanın ikinci qanununu ifadə etmək üçün istifadə edilir. Bu bərabərsizlik təbii prosesslərin dönməzliyini, xüsusilə enerji itgisini, xarakterizə edən bir ifadədir.

Əvvəlki bölmədəki müvazinət tənliklərində olduğu kimi, nəzərdə tutulan bir kəmiyyətin selinin və mənbəsinin və eləcə də həmin kəmiyyətin vahid kütlədə daxili sıxlığının olması fərz edilir. Bu bölmədə nəzərdə tutulan kəmiyyət entropiyadır. Beləliklə, biz entropiya selinin, entropiya mənbəsinin və daxili spesifik entropiya (vahid kütləyə düşən entropiya) ${\displaystyle \eta }$-nın baxılan bölgədə olmasını fərz edirik.

${\displaystyle \Omega }$ ilə belə bir bölgəni və ${\displaystyle \partial \Omega }$ ilə onun sərhədini işarələyək. Bu zaman, termodinamikanın ikinci qanunu ifadə edir ki, ${\displaystyle \eta }$-nın bu böləgə artma tezliyi daxili entropiya sıxlığının ${\displaystyle \rho \eta }$ dəyişməsi ilə entropiyanın ${\displaystyle \Omega }$-ya (sel və yaxud daxili mənbələr vasitəsilə) təchizinin cəmindən böyük yaxud bərabərdir. Daxili entropiya sıxlığının dəyişməsi baxılan bölgəyə materialın axaraq daxil və xaric olması ilə əlaqələndirilir.

Gəlin ${\displaystyle \partial \Omega }$-nun ${\displaystyle u_{n}}$ axış sürəti ilə hərəkətdə olmasını və ${\displaystyle \Omega }$ daxilindəki hissəciklərin ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sürətlərinə malik olmasını fərz edək. ${\displaystyle \rho }$ isə bölgədə maddənin sıxlığını, ${\displaystyle {\bar {q}}}$ səthdə entropiya selini və ${\displaystyle r}$ vahid həcmə düşən entropiya mənbəyini göstərsin. Beləliklə, entropiya bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

Skalyar entropiya seli, səthdəki vektoriyal sel ilə ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$ ifadəsi vasitəsilə əlaqələndirlə bilər. Zamanın hər kiçik artan anı üçün isotermal şərtlər fərz edildikdə, biz yaza bilərik

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

yuxarıda ${\displaystyle \mathbf {q} }$ istilik seli vektoru, ${\displaystyle s}$ vahid həcmə düşən enerji mənbəyi, ${\displaystyle T}$ isə mütləq temperaturdur. Kəmiyyətlər hər hansı bir material nöqtənin ${\displaystyle \mathbf {x} }$ vəziyyətinə və ${\displaystyle t}$ zamanına uyğun gəlir.

Beləliklə Klausius-Duhem bərabərsizliyi integral şəkildə verilir:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Biz göstərə bilərik ki, entropiya bərabərsizliyi differensial formada aşağıdakı kimi verilir

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

Koşi stressi və daxili enerjidən istifadə etməklə Klausius-Duhem bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

1. ↑ Smith & Truesdell p.97
2. ↑ Slaughter
3. ↑ Lubliner
4. ↑ Liu
5. ↑ Wu
6. ↑ Fung
7. ↑ ^{1 2} Mase
8. ↑ Atanackovic
9. ↑ Irgens
10. ↑ Liu
11. ↑ Chadwick

• Batra, R. C. Elements of Continuum Mechanics. Reston, VA: AIAA. 2006.
• Chandramouli, P.N. Continuum Mechanics. Yes Dee Publishing Pvt Ltd. 2014. ISBN 9789380381398. 2018-08-04 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2015-03-27.

• Eringen, A. Cemal. Mechanics of Continua (2nd edition). Krieger Pub Co. 1980. ISBN 0-88275-663-X.

• Chen, Youping. Meshless Methods in Solid Mechanics (First Edition). Springer New York. 2009. ISBN 1-4419-2148-6.

• Dill, Ellis Harold. Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. 2006. ISBN 0-8493-9779-0.

• Dimitrienko, Yuriy. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. 2011. ISBN 978-94-007-0033-8.

• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk. Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. 2004. ISBN 3-540-20619-1.

• Fung, Y. C. A First Course in Continuum Mechanics (2nd). Prentice-Hall, Inc. 1977. ISBN 0-13-318311-4.

• Gurtin, M. E. An Introduction to Continuum Mechanics. New York: Academic Press. 1981.
• Lai, W. Michael; David Rubin; Erhard Krempl. Introduction to Continuum Mechanics (3rd edition). Elsevier, Inc. 1996. ISBN 978-0-7506-2894-5. 2009-02-06 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2015-03-27.

• Lubarda, Vlado A. Elastoplasticity Theory. CRC Press. 2001. ISBN 0-8493-1138-1.

• Lubliner, Jacob. Plasticity Theory (Revised Edition) (PDF). Dover Publications. 2008. ISBN 0-486-46290-0. 2010-03-31 tarixində orijinalından (PDF) arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2015-03-27.

• Malvern, Lawrence E. Introduction to the mechanics of a continuous medium. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 1969.

• Mase, George E. Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. 1970. ISBN 0-07-040663-4.

• Mase, G. Thomas; George E. Mase. Continuum Mechanics for Engineers (Second Edition). CRC Press. 1999. ISBN 0-8493-1855-6.

• Maugin, G. A. The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction. Singapore: World Scientific. 1999.
• Nemat-Nasser, Sia. Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. 2006. ISBN 0-521-83979-3.

• Ostoja-Starzewski, Martin. Microstructural Randomness and Scaling in Mechanics of Materials. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press. 2008. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Rees, David. Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. 2006. ISBN 0-7506-8025-3.

• Wright, T. W. The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2002.

• www.continuummechanics.org