Qauss inteqralı
Eyler-Poasson inteqralı olaraq da bilinən Qauss inteqralı – Qauss funksiyasının,
f
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}
-nin, bütün həqiqi ədədlər xətti üzrə inteqrallanması ilə alınlır. Alman riyaziyyatçısı Karl Fridrix Qaussun adını daşıyan inteqral bu şəkildə yazılır:
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
İnteqral geniş bir tətbiq sahəsinə malikdir. Məsələn, dəyişənlərin cüzi dəyişdirilməsi ilə normal paylanmanın normallaşdırma sabitliyini hesablamaq üçün istifadə olunur. Kvant mexanikasında bu inteqral harmonik osilatorun əsas vəziyyətinin ehtimal sıxlığını tapmaq üçün istifadə olunur.
Qauss inteqralı analitik şəkildə çoxdəyişkənli kalkulus metodları vasitəsilə həll edilə bilər. Qeyri-müəyyən Qauss inteqralı,
∫
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx}
, üçün elementar ibtidai funksiyalar ilə göstərilə bilmir, ancaq müəyyən Qauss inteqralının,
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}
, qiyməti hesablana bilir. İxtiyari Qauss funksiyasının müəyyən inteqralının qiyməti bu şəkildədir:
∫
−
∞
∞
e
−
a
(
x
+
b
)
2
d
x
=
π
a
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}
Qauss inteqralını hesablamaq üçün aşağıdakı xüsusiyyətlərdən istifadə etmək olar:
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
)
2
=
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
d
y
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.}
Dekart koordinatlarından qütb koordinatlarına keçid etməklə:
x
=
r
cos
θ
{\displaystyle x=r\cos \theta }
,
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle y=r\sin \theta }
və
d
x
d
y
=
r
d
r
d
θ
{\displaystyle dx\,dy=\,r\,dr\,d\theta }
olduğundan, aşağıdaki şəkildə hesablama aparıla bilər: (burada r faktoru qütb koordinatlarına çevrilmə aparıldığından Yakopi determinantının qiymətidir.)
∬
R
2
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
r
d
r
d
θ
=
2
π
∫
0
∞
r
e
−
r
2
d
r
=
2
π
∫
−
∞
0
1
2
e
s
d
s
s
=
−
r
2
=
π
∫
−
∞
0
e
s
d
s
=
π
(
e
0
−
e
−
∞
)
=
π
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}
Yerinə yazmaqla alınir:
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
)
2
=
π
,
{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}
Belə ki:
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
.
Rieman inteqralı
Riemann inteqralı — riyaziyyatın həqiqi analiz olaraq bilinən sahəsində bir intervalda təyin edilmiş funksiyaların inteqralını hesablamağa istiqamətlənmiş ilk tam qaydadır. Adını Bernard Riemandan alan anlayış nəzəri məqsədlər üçün çox da rahat deyilsə də, çox asan anlaşıla bilir.
f
{\displaystyle f}
,
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
intervalında bir həqiqi qiymətli funksiya və
S
=
{
(
x
,
y
)
|
0
<
y
<
f
(
x
)
}
{\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}
,
f
{\displaystyle f}
funksiyanın altında və
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
intervalının üstündə qalan müstəvi səthi olmaq şərtiylə
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}
ifadəsi bu sahəni təyin etmək üçün istifadə edilir.
Riman inteqralı
Riemann inteqralı — riyaziyyatın həqiqi analiz olaraq bilinən sahəsində bir intervalda təyin edilmiş funksiyaların inteqralını hesablamağa istiqamətlənmiş ilk tam qaydadır. Adını Bernard Riemandan alan anlayış nəzəri məqsədlər üçün çox da rahat deyilsə də, çox asan anlaşıla bilir.
f
{\displaystyle f}
,
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
intervalında bir həqiqi qiymətli funksiya və
S
=
{
(
x
,
y
)
|
0
<
y
<
f
(
x
)
}
{\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}
,
f
{\displaystyle f}
funksiyanın altında və
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
intervalının üstündə qalan müstəvi səthi olmaq şərtiylə
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}
ifadəsi bu sahəni təyin etmək üçün istifadə edilir.