Altqrup
Əgər G qrupunun hər hansı H kompleksi qrup əmələ gətirərsə, onda o G qrupunun altqrupu adlanır.
Məsələn, tam ədədlər çoxluğu toplama əməlinə görə qrup əmələ gətirir. Həmçinin cüt ədədlər çoxluğu da toplamaya nəzərən qrup əmələ gətirdiyindən cüt ədədlər tam ədədlərin altqrupunu təşkil edir.
Qrupun kompleksi onun elementlərindən düzəldilmiş ixtiyari çoxluqdur.
Qrup və altqrup anlayışı
Qrup anlayışı və bu əsasla yaranan qrup nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatın çox vacib sahəsidir.
Qrupa həm başqa cəbri strukturların köməyi ilə, həm də müstəqil sürətdə tərif vermək olar. Məsələn, deyə bilərik ki, elementlərinin hamısının tərsi olan monoidə qrup deyilir. Yaxud: neytral və simmetrik elementlərə malik olan yarımqrupa qrup deyilir.
Lakin yaxşı olar ki, qrupun müstəqil tərifi ilə də tanış olaq.
Boş olmayan
G
{\displaystyle G}
çoxluğunda aşağıdakı şərtlər ödənərsə, ona vurma əməlinə nəzərən qrup deyilir:
1)
G
{\displaystyle G}
çoxluğunda vurma əməli təyin edilir, yəni:
∀
(
a
,
b
∈
G
)
{\displaystyle \forall (a,b\in G)}
üçün
a
⋅
b
=
c
{\displaystyle a\cdot b=c}
,
c
∈
G
{\displaystyle c\in G}
(başqa sözlə,
G
{\displaystyle G}
çoxluğu vurma əməlinə nəzərən cəbri qapalıdır);
2) Vurmada assosiativlik qanunu doğrudur, yəni:
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
;
{\displaystyle (ab)c=a(bc);}
3)
G
{\displaystyle G}
çoxluğunda vahid element vardır, yəni:
∀
(
a
∈
G
)
{\displaystyle \forall (a\in G)}
üçün
∃
(
e
∈
G
)
{\displaystyle \exists (e\in G)}
,
a
e
=
e
a
=
a
;
{\displaystyle ae=ea=a;}
4)
G
{\displaystyle G}
-nin hər bir elementinin tərsi var, belə ki:
∀
(
a
∈
G
)
{\displaystyle \forall (a\in G)}
üçün
∃
!
(
a
−
1
∈
G
)
,
{\displaystyle \exists !(a^{-1}\in G),}
a
a
−
1
=
a
−
1
a
=
e
.
{\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=e.}
2),3),4) şərtləri qrupun aksiomları adlanır.
Bunlaradan əlavə
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
(yəni vurmada kommutativlik qanunu) doğru olarsa, buna kommutativ qrup, yaxud Abel qrupu deyirlər.
Analoji olaraq toplama əməlonə nəzərən qrupa tərif verilir, yəni
G
{\displaystyle G}
çoxluğunda
1)
a
,
b
∈
G
{\displaystyle a,b\in G}
üçün
a
+
b
∈
G
{\displaystyle a+b\in G}
(toplama əməlinin təyini);
2)
a
+
b
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle a+b+c=a+(b+c)}
(toplamada assosiativlik qanunu);
3)
a
+
0
=
0
+
a
=
a
{\displaystyle a+0=0+a=a}
(sıfır elementinin varlığı);
4)
a
+
a
′
=
a
′
+
a
=
0
,
{\displaystyle a+a'=a'+a=0,}
a
′
=
−
a
{\displaystyle a'=-a}
(əks elementin varlığı)
şərti və aksiomları ödənərsə,
G
{\displaystyle G}
-yə toplama əməlinə nəzərən qrup deyilir.