homomorfizm

Tutaq ki, iki ⟨ G , ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle G,\centerdot \right\rangle } və , ⟨ G , ∘ ⟩ {\displaystyle \left\langle G,\circ \right\rangle } qrupları və G {\displaystyle G} çoxluğunun G {\displaystyle G} -ə f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} inikası verilmişdir. Tərif 1. Əgər f {\displaystyle f} inikası ( ∀ x , y ∈ G ) ( f ( x y ) = f ( x ) ∘ f ( y ) ) , {\displaystyle (\forall x,y\in G)(f(xy)=f(x)\circ f(y)),} şərtini ödəyərsə onda belə inikas homomorfizm adlanır. Tərif 2. f {\displaystyle f} homomorfizmi biyektiv inikas olarsa, onda o, izomorfizm adlanır. Əgər f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} inikası izomorfizm olarsa, onda və , ⟨ G , ∘ ⟩ {\displaystyle \left\langle G,\circ \right\rangle } qrupları izomorf qruplar adlanır və bu belə işarə olunur ⟨ G , ⋅ ⟩ ≅ ⟨ G , ∘ ⟩ {\displaystyle \left\langle G,\centerdot \right\rangle \cong \left\langle G,\circ \right\rangle } (çox vaxt sadəcə G ≅ G ′ {\displaystyle G\cong G'} kimi də yazılır). Teorem 1. Əgər f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} homomorfizmi verilərsə, onda aşağıdakı münasibətlər doğrudur: ( ∀ x ∈ G ) ( f ( x − 1 ) = ( f ( x ) − 1 ) , f ( e ) = e ′ . {\displaystyle (\forall x\in G)(f(x^{-1})=(f(x)^{-1}),f(e)=e'.} İsbatı. Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki, f ( e ) ∘ e ′ = f ( e ) = f ( e e ) = f ( e ) ∘ f ( e ) .