Həndəsə (Dekart)

Həndəsə (fr. La Géométrie) — 1637-ci ildə Leydendə (Hollandiya) nəşr olunan Rene Dekartın əsəri, Dekartın "Metod haqqında mühakimə" fəlsəfi traktatına üçüncü əlavəsi.

Həndəsə
fr. La Géométrie
Başlıq səhifəsi
Müəllif	Rene Dekart
Janr	ədəbi əsər
Mövzu	riyaziyyat,həndəsə
Orijinalın dili	fransız dili
Ölkə	Hollandiya (Leyden)
Orijinalın nəşr ili	1637-ci il
Səhifə	106
Vikianbarda əlaqəli mediafayllar

Səhifələrinin sayı 106-dır. İlk nəşrdə müəllifin adı göstərilməyib. Bu Dekartın tamamilə riyaziyyata həsr olunmuş işidir; müəllif tərəfindən onun ümumi metodlarının tətbiqi nümunəsi kimi qəbul edilmişdir. 1637-dən sonra Həndəsə "Metod haqqında əsaslandırma"dan ayrıca nəşr olundu.^[1]

Dekartın "Həndəsə"si yeni riyaziyyatın inkişafında bir dönüş nöqtəsi oldu,bu XVII əsrin ən böyük riyaziyyatçılarının stolüstü kitabı idi. Kitabın əsas dəyəri, riyaziyyatın yeni bir qolunun - analitik həndəsənin təqdimatı olması idi ki, bu da həndəsi koordinatları istifadə edərək həndəsi problemləri cəbr dilinə tərcümə etməyə imkan verdi və bununla da onların öyrənilməsini və həllini asanlaşdırdı. Bundan əlavə,o andan etibarən elmdə qəbul edilən,"Həndəsə"də Dekart rahat riyazi simvollardan istifadə etmişdir. Nəhayət — müasir terminologiyada,funksiyalarda —"Həndəsə" riyaziyyatçıların diqqətini ədədi dəyərləri öyrənmədən aralarındakı münasibətləri öyrənməyə,dəyişməyə başladı.^[2]

Həndəsə sistemində aparılan riyaziyyatdakı inqilabi dəyişikliklər,Dekarta köhnə metodlarla əlçatmaz bir sıra problemləri həll etməyə imkan verdi. Karteziya yanaşması XVII əsrin sonlarına qədər Nyuton və Qotfrid Leybnits tərəfindən riyazi analizin inkişafı üçün əsas oldu.

Bir mənada deyə bilərik ki,Dekart qədim yunan riyaziyyatçılarının strateji səhvlərini düzəldərək cəbr və həndəsə prioritetlərini dəyişdirdi. E.ə V əsrdə riyaziyyat təməllərinin ilk böhranı ortaya çıxdı^[3] - Pifaqorçular məktəbi bir kvadratın diaqonalının onun tərəfi ilə ölçülməz olduğunu,yəni nisbətlərini (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) nə natural ədədlərlə,nə də rasional ədədlər ilə ifadə edə bilmədiklərini aşkar etdilər. Ancaq qədim riyaziyyatçılar, təbii ədədlərdən başqa digər ədədi obyektləri tanımırdılar,hətta kəsrlər onlar tərəfindən ədəd olaraq deyil,nisbət və tənasüb olaraq qəbul edilirdi. E.ə. IV əsrdə Knidli Evdoks bir çıxış yolu tapmağı bacardı — rəqəmlərlə yanaşı həndəsi kəmiyyət (uzunluq,sahə,həcm) anlayışını da təqdim etdi. Həmcins kəmiyyətlər üçün, oxşar ədədlərlə hesablama əməliyyatları təyin edildi. Evdoks nəzəriyyəsi Evklidin "Başlanğıclar" kitabının beşinci kitabında izah edildi və bu, XVII əsrə qədər Avropada istifadə edildi. Evklid say teoremlərini kəmiyyətlər üçün ayrıca sübut etməli idi və kəmiyyətlərin hesablanması - yalnız həmcins kəmiyyətlərə aid olduğu üçün,ədədi cəhətdən xeyli zəif idi.^[4][5].

Müasir dövrdə həndəsə əsasında ədədi cəbrin qurulmasının səhv olduğu ortaya çıxdı. Məsələn, həndəsə baxımından ${\displaystyle x^{2}+x}$ və hətta ${\displaystyle x^{4}}$ ifadələri həndəsi izaha malik deyildilər (nəticələnən kəmiyyətin fiziki ölçüsü müəyyən edilməmişdir) və buna görə məna vermədi; eynilə mənfi ədədlərə də aiddir.^[6]

Dekart başqa yolla getdi - cəbri həndəsəyə endirmək əvəzinə,həndəsi cəbri azaltdı və bu yol daha məhsuldar oldu. Bunun mümkün olması üçün Dekart say anlayışını genişləndirdi — irrasional ədədlər də daxil olmaqla bütün həqiqi ədədləri mənimsəyərək,mücərrədləşdirdi, yəni həndəsədən ayırdı.Bundan sonrası üçün həndəsi kəmiyyət haqqında ayrıca konsepsiya lazımsız olur.^[7] Həndəsənin cəbrlənməsi, əlavə olaraq tamamilə müstəqil görünən həndəsi problemlərdə ümumi cəhətləri aşkar etməyə imkan verdi.^[8][9]

Fransua Viyetin simvolik cəbri və inkişaf etmiş bir cəbr anlayışı sistemi (Dekartın özü də onun inkişafında iştirak etmişdir) ilə birlikdə bu yenilik, misli görünməmiş dərinliyi və ümumiliyi riyazi tədqiqatlar aparmağa imkan verdi. İlk dəfə Dekart riyaziyyatda belə bir islahat planını,26 mart 1619-cu ildə Hollandiyalı riyaziyyatçı İsaak Bekmana yazdığı məktubunda açıqladı. Əlavə materiallları Dekart optika ilə məşğul olduğu müddətdə əldə etdi.^[10]

Dekart praktiki olaraq həndəsə sahəsindəki digər elm adamlarının əsərlərinə istinad etmirdi,bu,Vallis və bir neçə başqa riyaziyyatçını onu,xüsusilə, Harriot və Alber Jirar kimi və digər cəbr üzrə mütəxəsisləri plagiat fikirıərdə günahlandırmağa verdi. Ancaq Dekart özünün başqa bir risaləsini, "Dioptika"nı daqurmuşdu,sanki ondan əvvəl heç kim riyazi optika üzərində işləməmişdir.^[11][12].

Dekartın danılmaz təsiri simvolik cəbrin qurucusu olan Fransua Viyetə idi. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi,Dekart 1619-cu ildə islahatının əsas ideyalarını inkişaf etdirməyə başladı,ona görə də proqramının nodal nöqtələrində o tamamilə müstəqildir. Geniş yazışmaları da bunu sübut edir. Dekartdan əvvəl Jirar cəbrin əsas teoremini tərtib etmişdir (1629),Harriot isə bir polinomun xətti faktorlaşmasını öyrənən ilk tədqiqatçı (1631) idi. Dekart Jirar və Harriotun riyazi simvolizmindən istifadə etmədi,lakin "Həndəsə" dərc edildikdən sonra Harriotun kitabı ilə tanış oldu. Dekart analitik həndəsəni kəşf edən,Böyük Ferma teoreminin yaradıcısı Pyer Ferma ilə fəal yazışdı,ancaq Fermanın ona təsiri əsərlərində hiss olunmur. Sələflərindən heç biri Dekart kimi riyaziyyatın belə köklü islahatını,tərifini verə bilmədi.^[13][14]

Analitik həndəsə yaratmağın vacibliyinə baxmayaraq,Dekart "Həndəsə"ni nəşr etməklə daha böyük məqsədə — riyazi problemlərin həlli üçün ən ümumi metoda çatmaq istədi. Dekart bu ümumi (düşündüyü kimi) üsulu aşağıdakı kimi qurur. Riyazi tapşırıqların əksəriyyəti nəticədə cəbri tənliklərə və ya belə tənliklər sisteminə endirilə bilərdi. Buna görə taşırıqları həll etmək sadəcə bu tənliklərin kökünü hesablamaq idi. Əgər tapşırığı həll edərkən cəbri deyil,digər (transsendental) tənliklər yaranarsa,onda,Dekartın fikrincə,ümumi həll üsulu mövcud deyildir. Köklərin həqiqi hesablanması üçün Dekart qrafik metoddan istifadə edir - köklər xətlərin,dairələrin və digər cəbri əyrilərinin kəsişmə nöqtələri kimi alınır. Dekart bilirdi ki,iki dərəcə əyrilərin qurulması ${\displaystyle m}$ və ${\displaystyle n}$ bəzi ${\displaystyle mn}$ dərəcə tənliyini həll etməyə imkan verir.^[15].

Məsələn, tənliyi həll etmək üçün:

${\displaystyle z^{4}=pz^{2}-qz+r}$

Dekart onu bir sistem şəklində təsvi etdi:

${\displaystyle {\begin{cases}x=z^{2}\\x^{2}+z^{2}-(p+1)x+qz-r=0\end{cases}}}$

Birinci tənlik (x,z) müstəvidə parabola verir,ikincisi dairə verir və sonda onların kəsişmə nöqtələrini tapmaq qalır. Dekart göstərdi ki,Kardano düsturu (Cerolamo Kardanonun adı ilə bağlıdır) kimi heç bir cəbr düsturu olmayan beşinci və altıncı dərəcəli tənliklər oxşar metodlarla həll edilə bilər.^[16]

Tənzimlənməyə daxil olan bütün ifadələri,Dekart sol tərəfə köçürdü ki,sağ tərəf həmişə sıfır olsun;bu üsulun tədqiqatı sol tərəfdə çoxbucaqlı kökləri tapmaq və bu kökləri tənliyin əmsalları ilə əlaqəsini öyrənmək üçün azaltdı.^[17]

Yuxarıda göstərildiyi kimi,Dekart,qədim müəlliflərdən fərqli olaraq, ədədləri və həndəsi kəmiyyətləri birləşdirmişdir. Üstəlik, üç növ nömrəni ayırd etdi: tam,kəsr və irrasional (lat. surdus, sözün əsl mənasında: "kar");Dekart aralarında ciddi fərqlər yaratmadı, çünki davamlı əyrilərin və cəbr şəkillərinin öyrənilməsi Pifaqorun rasional ədədlərlə məhdudlaşmasına uyğun deyildi.^[18] Dekart da mənfi ədədlərin leqallaşdırılması istiqamətində addım atdı, onları,müsbətin əksinə olan parçalar kimi təsvir etdi. Dekart ənənəvi olaraq mənfi kökləri "saxta" adlandırsa da, artıq onları "həqiqi", yəni müsbət,"həqiqi köklərin" ümumi - xəyali (mürəkkəb) kökləri ilə ziddiyyət təşkil edən kateqoriyasına birləşdirdi.^[19]

Dekartın islahatı tam,kəsr və irrasional ədədlərin "hüquq bərabərliyi" demək idi. Bu uzun müddətli proses, "Universal hesab" (1707) -də ölçü nəticəsinin vahid standartına nisbəti kimi həqiqi sayın klassik tərifini verən Nyuton tərəfindən tamamlandı:^[15][20]

Sayına görə çoxluqlar deyil,müəyyən miqdarın vahid olaraq qəbul edilən eyni növün,digər miqdarı ilə mücərrəd əlaqəsi deməkdir.

Orijinal mətn  (lat.)  

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Tarixçilər Perqalı Apolloninin ( Planetlərin görünən hərəkətlərini izah edən nəzəriyyənin müəllifidir) "Konik kəsiklərin"də (e.ə. III əsr) koordinat metodunun əsas xüsusiyyətlərini aşkar etdilər. Dekart analitik həndəsənin əsas ideyalarını 1632-ci ildən gec olmayaraq inkişaf etdirdi. Dekartla eyni vaxtda həndəsi xüsusiyyətlərin cəbri dildə tərtib edilməsi prinsipini başqa bir görkəmli fransız riyaziyyatçısı Pyer Ferma hazırlamış, lakin müəllifin əsərləri ömrü boyu yayımlanmamışdır. Fermanın yanaşması,ikincisindən aşağı olsa da,təqdimatın aydınlığı və dərinliyinə görə Karteziyan yanaşması kimidir.^[21]

Dekart koordinant sistemi müasir sistemdən bir qədər fərqli idi. Dekart iki ölçüsü olan bir səthdə mənşəyi və müsbət oxu düzəldir (o, yalnız müsbət koordinatları hesab edirdi və ordinant oxu onun üçün üfüqüdür),sonra bu ox üzərində ,perpendikulyar və ya başqa bir sabit bucaq altında olan layihələr tədqiq olunan əyrinin nöqtələri,əslində dizayn parçanın uzunluğu kimi ikinci koordinat (absis oxu) alır. Sonrasında bu əyri üçün Dekart, absis və ordinat oxları arasındakı əlaqəni (əyrinin tənliyini) əldə edir. Bundan sonra,bu əyri ilə bağlı hər hansı bir həndəsi ifadəni, rəsmlərə müraciət etmədən sırf cəbri cəhətdən əyrinin tənliyindən əldə etmək olar. Bununla birlikdə,qədim ənənəyə hörmətlə yanaşan Dekart,öz tənliklərinin həndəsi izahını verir. Qeyd edək ki, absis,ordinat,koordinat terminləri müasir mənada Qotfrid Leybnitsdən daha sonra ortaya çıxmışdır, və ikinci koordinat oxu ilk olaraq "Həndəsəsin"də sonrakına (1730) əlavə olaraq şərhçi Dekart Klod Rabuel(Claude Rabuel 1669-1728) tərəfindən təqdim edilmişdir.^{[22][23][24][25]}

Dekart bütün davamlı əyriləri həndəsi və mexaniklərə bölürdü; birincisi,cəbri tənliklə təsvir edilə biləcəyi ilə fərqlənir. Spiral və ya dördkünc kimi mexaniki əyrilərlə,Dekart öz tədqiqatlarının əhatəsindən kənara çıxmışdır. O,ilk dəfə olaraq müxtəlif dərəcəli səthi cəbri əyrilərinin təsnifatını aparmış, sonradan Nyuton tərəfindən düzəldilib,əlavələr edilmişdir. Dekart onun cəbrinin gizli bir təhlükə ilə üz-üzə olduğunu anladı - koordinatlar üçün düsturdan nəticə çıxarmaq üçün prinsipcə hər dəfə yoxlamaq lazım olduğunu,bu nəticələrin koordinat sisteminin seçilməsindən asılı olmadığını və mövcud koordinat sisteminin bəzi xüsusiyyətlərinin təsadüfi bir nəticəsi olmadığını söylədi. Dekartın bu mövzu üzərindəki əsaslanmaları invariant nəzəriyyənin əsasını qoydu.^[9]

Dekartın cəbr simvolizmi demək olar ki, müasir bir görünüş qazandı; "Həndəsə" — tarixdə,müasir oxucunun çətinlik çəkmədən qavraya biləcəyi düsturların yer aldığı ilk kitabdır. Dekart əmsallar üçün əlifbanın ilk hərflərindən: ${\displaystyle a,b,c\dots ,}$,lakin,tənliklər üçün isə — son hərflərdən ${\displaystyle x,y,z.}$ istifadə etməyi təklif etdi. Dekart qrafik qurarkən də eyni bu üçlüdən ${\displaystyle x,y,z.}$ koordinat işarələri kimi istifadə etdi; Dekartın özü isə düz əyrilərlə məhdudlaşdırdı, məkan koordinatlarının aktiv istifadəsi sonradan Aleks Klod Klero ilə başladı.^[26][27].

Dekart müasir dərəcəyə yüksəltməni tərtib etdi, məsələn: ${\displaystyle x^{3},}$ dərəcəyə yüksəltmə və dəyişən simvolun üstündəki dərəcə göstəricisidir. Əsrin sonuna doğru Nyuton bu rekordu kəsr və mənfi dərəcələrə qədər uzatdı. Florian Kecori dərəcələrin Karteziyan yanaşmasına görə xarakterizə edir, bütün cəbrdə ən uğurlu və çevik simvolizm - sadə, yığcam və intuitivdir, çevrilməni asanlaşdırır və gələcək üçün xüsusilə vacib olan dərəcəyə yüksəltmə anlayışının mənfi,kəsr və hətta mürəkkəb göstəricilərə genişlənməsini,riyaziyyatda güc və dərəcəyə yüksəltmənin meydana çıxmasını stimullaşdırdı; bütün bu uğurları XVI əsrin verdikləri ilə həyata keçirmək çətin idi.^[28]

Dekartın cəbr simvolizmi demək olar ki,tamamilə sonrakı nəsillər tərəfindən qəbul edildi,yalnız qeyri-adi Kartezyan işarəsi Robert Rekordun daha uğurlu bərabər işarəsi simvolu ilə əvəz edildi. Bundan əlavə,Dekartın həmişə mənfi hesab etmədiyi əmsallara qoyulan məhdudiyyətlər qaldırıldı və bu qaydanın istisnaları xüsusi bir işarə ilə ifadə olundu.^[29] Hollandiyalı riyaziyyatçı İohann Hudde,1657-ci ildə hərfi dəyişənlərlə hər hansı bir işarənin dəyərlərini dəyişməyə icazə verdi.^[30] Nyutonun "Universal hesablama" monoqrafiyasında (1707) Dekart yanaşması və Rekordun bərabər işarəsindən istifadə olundu. XVII əsrin sonlarına qədər cəbri təyinatların birləşməsi,demək olar ki,tamamlandı.^[29]

"Həndəsə" üç kitabdan ibarətdir. Müəllifin bəyanatları,bir qayda olaraq,ciddi sübutlarla müşayiət olunmur,lakin çox sayda doğru nümunələr ilə verilmişdir.^[17]

Birinci kitab: "Yalnız dairələr və düz xətlərdən istifadə edilərək qurulan tapşırıqlar haqqında." Artıq birinci fəsildə müəllif bildirir: "Bütün həndəsə problemlərini asanlıqla həll etmək olar,onları düzəltmək üçün yalnız bəzi düz xətlərin uzunluğunu bilmək lazımdır." Dekart hesab əməliyyatları və ekvivalent həndəsi konstruksiyalar arasındakı uyğunluğu təsvir edir; oxucunu ğz yanaşması ilə tanış edir. Sonra həll olunan problemin həlli üçün tənlikləri düzəltmə üsulu verir - sadəcə nisbət problemi vəziyyətində verilənlərin düsturları yazmalı və sonra tənliklərin həll yolunu axtarmalısınız.^[31]

Metodunun səmərəliliyinin bir nümunəsi olaraq,Dekart klassik İskəndəriyyəli Papp məsələsini araşdırdı və həll etdi (Pappın "Riyazi toplu" əsərindən, VII kitabdan): Müstəvidəki ${\displaystyle n}$ xətləri üçün bu nöqtələrin həndəsi yerini tapmaq tələb olunur, bunun üçün parçaların uzunluqlarının sayı,bu nöqtələrdən eyni istiqamətlərdə ${\displaystyle n/2}$ məlumat xətlərinə çəkilmiş, qalan düz xətlərə çəkilmiş,parçaların uzunluqlarının oxşar sayı ilə əvvəlcədən müəyyən edilmiş bir əlaqəyə malikdir. Papp,istədiyiniz həndəsi yerin konik bir hissə olduğunu təyin etdi,lakin tam sübutunu vermədi; Dekart yalnız ümumi işi deyil, həm də xüsusi vəziyyətləri nəzərdən keçirdi (tədqiqatın bir hissəsini ikinci kitabda yerləşdirdi).^[22][23][32].

İkinci kitab: "Əyri xətlərin təbiəti haqqında". Bu kitab cəbrin həndəsəyə tətbiq olunmasına həsr edilmişdir. Burada Dekart,cəbri əyrilərə normal və kəsişməyən düz xəttlər çəkmək üçün ümumi üsul göstərdi, sonra optikanın bəzi məsələlərinə toxundu. Diferensial hesablama hələ yaradılmamışdı, və Dekart ellips,üçüncü dərəcəli səthi cəbri əyri(ing. Diocles cisoid ) və oval nümunəsi ilə göstərilən qeyri-müəyyən əmsallar metodundan istifadə edir.^[33] Pyer Ferma Dekart yanaşması aparmaqla differensial metodu haqqında məlumat verdikdə,daha sadə və praktik olaraq, cəbri hüdudlarından kənara çıxmağı rədd etdi,baxmayaraq ki,sikloid (ferma spiralı) və loqarifmik spiralları tədqiq edərkən özü də Karteziya ideologiyasına aid olmayan metodlardan istifadə etdi (məsələn, bölünməz metod).^[34][32]

Dekart bu fəsildə ixtiyari bir əyrinin qövs uzunluğunun hesablanmasının mümkünlüyünə dair pessimizmi ifadə etdi ("düzələ bilən əyri",sonra dedikləri kimi): onun fikrincə, "düz xətlər və əyrilər arasındakı əlaqə bilinmir və hətta məncə insanlar tərəfindən də tanıması mümkünsüzdür",^[35][36] o zaman həqiqətən bir dairədən başqa heç bir əyri düzəldilə bilməzdi. Pessimizm əsassız oldu - iyirmi il sonra (1657-ci ildə) Uilyiam Neyl Neyl parabolasını düzəldib, və bir il sonra Kristofer Ren cəbri olmayan sikloid əyrinin uzunluğunu tapdı. Bundan əlavə, riyazi analizdə dərhal müxtəlif əyrilər üçün istifadə olunan bir qövsün uzunluğunu tapmaq üçün ümumi bir nəzəriyyə yaratdı.^[37].

İkinci hissənin sonunda Dekart yazır: "İnanıram ki, əyri xətləri bilmək üçün başlanğıcdan lazım olan heç bir şeyi əsirgəməmişəm." Əslində analitik həndəsənin açdığı geniş imkanlar,yalnız yeni həndəsənin təsirli tərəqqisinin başlanğıcı olaraq xidmət etdi.^[23]

Üçüncü kitab: "Bədən quruluşu və onun haqqında tapşırıqlar" Üçüncü kitabda Dekart bu dövrdə cəbrin toplanmış əsas teoremlərini və vahid bir sistemə bağladığı tənliklərin həlli üsullarını,rahat ümumi simvollar və terminologiyalarla izah etdi. Xüsusilə,cəbrin əsas teoremini tərtib etdi: bir tənliyin kvadratından asılı olmayaraq çox fərqli kökləri ola bilər (Dekart mürəkkəb kökləri “xəyali” adlandırdı və onlara daha az diqqət yetirdi.)^[38]

Müsbət və mənfi köklərin sayını çoxalma əmsalları ilə müəyyənləşdirmək üçün Dekart işarələrinin qaydası (yalnız XVIII əsrdə Jozef Lui Laqranj tərəfindən ciddi şəkildə sübut olunmuşdur), habelə say oxundakı həqiqi köklərin mövqeyini təyin etmək qaydaları verilmişdir. Eten Bezudan bir əsr əvvəl,Dekart göstərdi ki, əgər ${\displaystyle a}$ — çoxbucaqlı kök ${\displaystyle p(x),}$ varsa,onda bu çoxbucaqlı kök ${\displaystyle x-a,}$ şəklində ifadə oluna bilər. Dekart,bucağın triseksiyasının kub tənliyinə aid tapşırıqlarının həllini tapır və konusvari hissələrdən istifadə edərək adi üsulu ilə həll edir.^[38]

Dekart üçüncü və daha yüksək dərəcəli tənliklərin,pərgar və xətkeş ilə həllinin ümumiyyətlə,qeyri-mümkün olduğuna dair fikirlərini bildirdi;başqa sözlə,ümumi kub tənliyi yalnız kvadrat (kub deyil) köklərdən istifadə etməklə həll edilə bilməz. Müəllifin bu mövzuda söylədiyi arqumentlər inandırıcı deyil və heç bir dəlili yoxdur. Lakin Dekart düzgün qeyd etdi ki,bu tənliyin həqiqi bir kökü varsa,bir cüt pərgar və xətkeşin koməyi ilə kub tənliyini tam əmsallar və mümkün olan ən yüksək 1 əmsal ilə həlli mümkündür(təbii ki,tam ədədlərin iştirakı ilə). Dekart da bənzər bir məsələni kvadrat tənliyi üçün tam şəkildə həll edərək onu qururdu.^[39][40]

"Həndəsə"ni sonlandıran Dekart zarafatla qeyd etdi:^[35]

Ümid edirəm ki,nəsillərimiz yalnız burada izah etdiklərimə görə deyil,həm də könüllü olaraq,özlərini tapmaqdan zövq almaq üçün işlədiyim bu işlərim üçün mənə minnətdar olacaqlar.

Əslində,Dekartın işi,xüsusən latın dilinə tərcüməsi buraxıldıqdan sonra (1649,Frans van Sxoten) dərhal çoxsaylı tərəfdar qazanmış və bir çox nəşrlərə səbəb olmuş,müəllifləri Dekartın göstərdiyi yolu tutmuş və fikirlərini fəal inkişaf etdirmişlər. "Həndəsə" XVII əsrdə Hollandiyada və Almaniyada dörd dəfə nəşr olundu. Hər yeni nəşr ilə Dekartın mətni geniş yerlərdə və çətin yerlərin izahları ilə əhatə olunmuşdu,artıq ikinci nəşr iki cilddə idi.^[1] "Həndəsə" dən sonra Dekart özü müəyyən dərəcədə riyaziyyatdan uzaqlaşdı və metafizik təbii fəlsəfəsinin inkişafına üstünlük verdi.^[34]

Dekartın ilk ideoloji davamçıları arasında van Sxoten,Rasmus Bartolin,İohann Hudde,Florimon de Bon da var idi. Dekartın həlledici təsiri ilə "Ümumi riyaziyyat və ya hesabın tam kursu"(Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum, 1657) adlı mənalı bir risalə dərc edən Con Vallis (1655),sonradan "Cəbr haqqında bir risalə" də (1685) nəşr etdirdi. Vallis bölünməz üsul ilə cəbri yaydı (əvvəllər sırf həndəsi),inteqral hesablama yaratmağa yaxınlaşdı.^[41]

İsaak Nyuton gəncliyində Dekartın "Həndəsə" əsərini oxuyaraq,onu Evklidin "Başlanğıclar"ından daha üstün tutdu. Nyutonun "Universal hesablama"sında (1707) cəbrin həndəsədən tamamilə ayrıldı.^[42][43][44] Tarixçi Karl Boyerin qeyd etdiyi kimi,Qotfrid Leybnitsin təhlili ilə bağlı ilk nəşrlərində şüurlu və ya qeyri-ixtiyari olaraq Karteziya "Həndəsə" üslubunu təqlid etmişdir;^[45] məktublarının birində Leybnits müəllimlərini Qalileo Qaliley, Dekart və Xristian Hüygens olduğunu vurğulayır.^[46]

XVII əsrin sonlarında riyazi analizin yaradılması Dekartın cəbr yanaşmasının universallığı haqqında tezisini etibarsız saysa da,bu tezisin yeni, analitik əsasda uzadılması Dekartın qabaqcıl işləri içərisində ən yaxşısı statusunu qorudu və bir çox təbiət elmlərində yeni riyaziyyatın uğurlu tətbiqinə imkan verdi.^[47]

• 1637:ilk nəşr Leyden, müəllifin adı göstərilmədən.
• 1649: latın dilinə tərcüməsi (Frans van Sxoten).
• 1659—1661: ikinci latınca nəşri,Amsterdam. Van Sxoten,Rasmus Bartolin,İohann Hudde,Florimon de Bon,Jan de Vitt və başqalarının məqalələrinin əlavələri ilə.
• 1683: üçüncü latınca nəşri,bir az əlavələr ilə.
• 1695: dördüncü latınca nəşr,Frankfurt-Mayn,Yakob Bernullinin iştirakı və əlavələri ilə.

• Qutenberq layihəsindəki mətn  (rus.)

• Rene Dekart
• Pyer Ferma

• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: ГИФМЛ. 1960.
• Математика XVII столетия // История математики. II. М.: Наука. Под редакцией Юшкевич, Адольф Павлович, в трёх томах. 1970.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. История науки и техники. М.: Наука. 1979.
• Цейтен, Иероним Георг. История математики в XVI и XVII веках (Изд. 2-е). М.—Л.: ОНТИ. Обработка, примечания и предисловие Выгодский, Марк Яковлевич. 1938.
• Юшкевич, Адольф Павлович. Декарт и математика // Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. Классики естествознания. М—Л.: Гостехиздат. Перевод, примечания и статьи Юшкевич, Адольф Павлович. 1938. 257–294.
• Яновская С. А. О роли математической строгости в творческом развитии математики и специально о «Геометрии» Декарта // Историко-математические исследования. № 17. М.: Наука. 1966. 151—184.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). NY: Cosimo, Inc. 2007. ISBN 978-1-60206-684-7.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). NY: Cosimo, Inc. 2007. ISBN 978-1-60206-713-4.

• Dekart Rene (1596-1650)
• Rene Dekart, Şübhədən Həqiqətə! Arxivləşdirilib 2020-06-04 at the Wayback Machine
• Bu gün məşhur filosof Rene Dekartın doğum günüdür Arxivləşdirilib 2020-06-04 at the Wayback Machine
• Rene Dekart