ELLİPTİK

∫ R ( x , P ( x ) ) d x {\displaystyle \int \limits _{}^{}R(x,{\sqrt {P(x)}})dx} (1) inteqralına baxaq.Burada P ( x ) {\displaystyle P(x)} dərəcəsi n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} olan çoxhədlidir. n = 3 {\displaystyle n=3} və n = 4 {\displaystyle n=4} olduqda (1) şəklindəki inteqrallara e l l i p t i k {\displaystyle elliptik} inteqrallar, n ⩾ 5 {\displaystyle n\geqslant 5} olduqda isə h i p e r e l l i p t i k {\displaystyle hiperelliptik} inteqrallar deyiıir.Abel və Liuvill isbat etmişlər ki,elliptik inteqrallar, ümumiyyətlə, sonlu şəkildə hesablanmir.Göstərmək olar ki, (1) şəklindəki inteqrallar n = 3 {\displaystyle n=3} və n = 4 {\displaystyle n=4} olduqda hesablanan inteqrallar dəqiqliyi ilə aşağıdakı inteqrallardan birinə gətirilir ( burada 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} parametrdir ) : ∫ d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}} (2) ∫ x 2 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {x^{2}dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}} (3) ∫ d x ( 1 + n x 2 ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1+nx^{2})(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}} (4) (2), (3) və (4) inteqrallarını əvəzləmələr vasitəsilə uyğun olaraq aşağıdakı inteqrallara gətirmək olar: ∫ d φ ( 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ ) {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}}} (5) ∫ 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ d φ {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi } (6) ∫ d φ ( 1 − n sin 2 ⁡ φ ) 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ {\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}} (7) (5), (6) və (7) inteqrallarına uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və 3-cü elliptik inteqrallar deyilir.(5) və (6) inteqrallarının φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} qiymətində sıfra çevrilən ibtidai funksiyalarını uyğun olaraq F ( k , φ ) {\displaystyle F(k,\varphi )} və E ( k , φ ) {\displaystyle E(k,\varphi )} ilə işarə edirlər.