Aksiom
Aksiom [yun. axioma – qəbul edilmiş müddəa, axioo – layiq bilirəm] mənasını verir.
Riyaziyyatda sübutsuz qəbul edilən fikir;
Ümumiyyətlə, məcazi mənada dəlilə, sübuta ehtiyacı olmayan həqiqət;
İsbatsız qəbul edilən düşüncə, fikir;
Müəyyən nəzəriyyənin deduktiv quruluşunda sübut edilməyən, lakin həmin nəzəriyyənin digər təkliflərinin sübutunun çıxış nöqtəsi, əsası kimi qəbul olunan nəzəri təklif. Aksiom kimi, adətən, nəzərdən keçirilən nəzəriyyənin elə təklifləri götürülür ki, bunların düzgünlüyü artıq məlumdur, yaxud həmin nəzəriyyə daxilində düzgün sayıla bilər;
Təsdiqə, sübuta ehtiyacı olmayan fikir və ya müddəa.
“Aksiom” terminini ilk dəfə Aristotel işlətmişdir.
Əliquliyev R.M., Şükürlü S.F., Kazımova S.İ., Elmi fəaliyyətdə istifadə olunan əsas terminlər // Bakı. İnformasiya Texnologiyaları nəşriyyatı. 2009. 201 s.
Peripatetik aksiom
Peripatetik aksiom "əvvəlcə duyğuda olmayan heç nə, zehində yoxdur, (Lat: Nihil est in intellectu quod non sit prius in sensu)" şəklində ifadə edilir. Akvinalı Fomanın De veritate əsərində keçir (q. 2 a. 3 arg. 19).
Foma bu prinsipi Aristotelin qurduğu Yunan fəlsəfəsinin Peripatetik məktəbindən götürüb. Akvinalı Foma Tanrının varlığını duyğu göstəricilərinə əsaslanaraq sübut edilə biləcəyini iddia edirdi. O, xüsusi empirik göstəricilərdən universal mənaları abstraktlaşdırma qabiliyyəti olaraq şərh etdiyi Aristotelçi "aktiv zehin" ("intellectus agens") anlayışının variyasiyasını istifadə etmişdir.
Aksiomatik üsul
Aksiomatik üsul – elmi nəzəriyyənin qurulma və tədqiqat üsuludur. Əsasən, riyazi nəzəriyyələrə tətbiq olunur. Aksiomatik üsulla qurulmuş elmi nəzəriyyə aksiomatik və ya deduktiv nəzəriyyə adlanır. Riyazi nəzəriyyə Aksiomatik üsulla qurulduqda əvvəlcə qurulan aksiomatika üçün ilkin olan anlayışlar verilir. İlkin anlayışlar başqa anlayışlarla izah edilmir və məntiqi əsaslandırılmır. Aksiomatik nəzəriyyənin başqa anlayışları ilkin anlayışlar əsasında məntiqi yolla daxil edilir. Hər başqa anlayış ilkin anlayışlardan təşkil edilmiş predikatın ixtisarlaşdırılmış adıdır. Aksiomatik nəzəriyyənin hökmü onun anlayışları arasındakı məntiqi əlaqəni göstərən formullar olub, məntiqi yolla ilkin anlayışlardan alınmışdır. Aksiomatik nəzəriyyəni başqa elmi nəzəriyyələrdən ayıran əsas əlamət isbat olunan hökmün məntiqi əsaslandırılmasıdır. Aksiomatik üsula görə baxılan nəzəriyyənin bəzi müddəa və təklifləri qurulan aksiomatik nəzəriyyə üçün doğru elan edilir, isbatsız qəbul olunur və aksiomatik nəzəriyyənin aksiomları adlanır.
Aksiomatika
Formal sistem, Aksiomatika — Riyaziyyat elminin bu və ya digər sahəsinin aksiomları sistemidir.
Məsələn, Elementar həndəsənin 25-ə yaxın aksiomu, Ədədlər meydanının 9 aksiomu, və s. var.
Aksiomlar üzərinə üç tələb qoyulur:
Aksiomlar sisteminin ziddiyyətsizliyi.
Yəni bu sistemdən məntiqi mühakimə ilə bir-birini inkar edən iki təklif alınmasın.
Aksiomlar sisteminin asılı olmaması.
Yəni aksiomlar sisteminin heç bir aksiomu məntiqi mühakimələrlə sistemin digər aksiomlarından alınmasın. Başqa sözlə, aksiomlar sisteminin asılı olmaması tələbi bu sistemdəki aksiomların sayını minimuma endirir.
Aksiomlar sisteminin tamlığı.
Yəni ziddiyyətsiz aksiomlar sisteminin ixtiyari iki modeli (interpretasiyası) izomorfdur.
Aksiomlar
Aksiom [yun. axioma – qəbul edilmiş müddəa, axioo – layiq bilirəm] mənasını verir.
Riyaziyyatda sübutsuz qəbul edilən fikir;
Ümumiyyətlə, məcazi mənada dəlilə, sübuta ehtiyacı olmayan həqiqət;
İsbatsız qəbul edilən düşüncə, fikir;
Müəyyən nəzəriyyənin deduktiv quruluşunda sübut edilməyən, lakin həmin nəzəriyyənin digər təkliflərinin sübutunun çıxış nöqtəsi, əsası kimi qəbul olunan nəzəri təklif. Aksiom kimi, adətən, nəzərdən keçirilən nəzəriyyənin elə təklifləri götürülür ki, bunların düzgünlüyü artıq məlumdur, yaxud həmin nəzəriyyə daxilində düzgün sayıla bilər;
Təsdiqə, sübuta ehtiyacı olmayan fikir və ya müddəa.
“Aksiom” terminini ilk dəfə Aristotel işlətmişdir.
Əliquliyev R.M., Şükürlü S.F., Kazımova S.İ., Elmi fəaliyyətdə istifadə olunan əsas terminlər // Bakı. İnformasiya Texnologiyaları nəşriyyatı. 2009. 201 s.
Arximed aksioması
Arximed aksiomu və ya Arximed prinsipi və ya Arximed mülkiyyəti — Qədim yunan riyaziyyatçısı Arximedin adını daşıyan riyazi ifadələr.
Bu təklif əvvəlcə Knidli Evdoks Kəmiyyətlər münasibətləri nəzəriyyəsində formalaşdırıldı (Evdoksun kəmiyyət anlayışı həm nömrələri, həm də davamlı kəmiyyətləri əhatə edir: parçalar, sahələr, həcmlər):
İki miqdar varsa
a
{\displaystyle a}
və
b
{\displaystyle b}
,
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
-dən azdırsa, sonra
a
{\displaystyle a}
komponent olaraq götürüb,kifayət qədər
b
{\displaystyle b}
-ni kənarlaşdıra bilərik:
a
+
a
+
…
+
a
⏟
n
>
b
{\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}
Məsələn, seqmentlər üçün Arximed aksiomu belə səslənir: əgər iki seqment verilirsə, onlardan daha kiçik olanı kifayət qədər dəfə təxirə salmaqla daha böyük hissəni örtə bilər.
Arximed aksiomu ifadəsi mənasız görünür,lakin əsl mənası sonsuz və ya sonsuz böyük miqdarda olmamasıdır. Beləliklə, bu aksiom qeyri-standart analizdə yerinə yetirilmir: hiperreal ədədlər dəstində sonsuz və sonsuz böyük miqdarlar var. Bu cür elementlər Arximedin aksiomunu qane edə bilməz. Digər nümunələr mümkündür.
Arximed əmlakının razı olduğu riyazi quruluşlar,arximediya adlanır,məsələn, Arximed sahəsi və Arximed qrupu və yerinə yetirilməyənlər isə - arximediya deyil.
Riyaziyyatda Arximedin aksiomu kimi tanınan aksiom, əslində ilk olaraq Knidli Evdoks tərəfindən tərtib edilmişdir. Bu təklif əslində əsl ədədlərin ilk aksiomatik nəzəriyyəsi olan münasibətlər nəzəriyyəsində əsas rol oynadı. Buna görə də buna Evdoksun aksiomu da deyilir.
Arximed aksiomu
Arximed aksiomu və ya Arximed prinsipi və ya Arximed mülkiyyəti — Qədim yunan riyaziyyatçısı Arximedin adını daşıyan riyazi ifadələr.
Bu təklif əvvəlcə Knidli Evdoks Kəmiyyətlər münasibətləri nəzəriyyəsində formalaşdırıldı (Evdoksun kəmiyyət anlayışı həm nömrələri, həm də davamlı kəmiyyətləri əhatə edir: parçalar, sahələr, həcmlər):
İki miqdar varsa
a
{\displaystyle a}
və
b
{\displaystyle b}
,
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
-dən azdırsa, sonra
a
{\displaystyle a}
komponent olaraq götürüb,kifayət qədər
b
{\displaystyle b}
-ni kənarlaşdıra bilərik:
a
+
a
+
…
+
a
⏟
n
>
b
{\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}
Məsələn, seqmentlər üçün Arximed aksiomu belə səslənir: əgər iki seqment verilirsə, onlardan daha kiçik olanı kifayət qədər dəfə təxirə salmaqla daha böyük hissəni örtə bilər.
Arximed aksiomu ifadəsi mənasız görünür,lakin əsl mənası sonsuz və ya sonsuz böyük miqdarda olmamasıdır. Beləliklə, bu aksiom qeyri-standart analizdə yerinə yetirilmir: hiperreal ədədlər dəstində sonsuz və sonsuz böyük miqdarlar var. Bu cür elementlər Arximedin aksiomunu qane edə bilməz. Digər nümunələr mümkündür.
Arximed əmlakının razı olduğu riyazi quruluşlar,arximediya adlanır,məsələn, Arximed sahəsi və Arximed qrupu və yerinə yetirilməyənlər isə - arximediya deyil.
Riyaziyyatda Arximedin aksiomu kimi tanınan aksiom, əslində ilk olaraq Knidli Evdoks tərəfindən tərtib edilmişdir. Bu təklif əslində əsl ədədlərin ilk aksiomatik nəzəriyyəsi olan münasibətlər nəzəriyyəsində əsas rol oynadı. Buna görə də buna Evdoksun aksiomu da deyilir.
Paş aksiomu
Tusi-Paş aksiomu – üçbucağın təpələrindən keçməyən düz xətt onun bir tərəfini kəsirsə, onda həmin düz xətt üçbucağın qalan iki tərəfindən yalnız birini kəsir.
Bu aksiom islam ölkələrində Tusi-Paş aksiomu, avropada və amerikada isə sadəcə "Paş aksiomu" adlanır. Aksiom şərq aləmində ilk dəfə XIII əsrdə yaşamış Azərbaycanlı alim Nəsirəddin Tusi, avropada isə əslən polşalı olan alman riyaziyyatçısı Morits Paş tərəfindən kəşf edilmişdir. Morits Paş bu aksiomu 1882-ci ildə kəşf etmişdir.
Ceremi Qrey: Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century, Springer 2007
Moritz Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882
Victor Pambuccian: The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces. Expositiones Mathematicae 29 (2011), 24-66 (pdf).
Peano aksiomaları
Peano aksiomları — natural ədədlər çoxluğunun təsvirində istifadə edilən, Qiuseppe Peano və Riçard Dedekind tərəfindən irəli sürülmüş dörd əsas və bir köməkçi aksiomdur. Bu aksiomlar aşağıdakılardır:
a. Verilən çoxluq boş deyil. Tərkibinə 1 adlandırılan obyekt daxildir.
1
∈
N
{\displaystyle 1\in \mathbb {N} }
b. Hər natural ədəd üçün onun ardıcılı deyilən başqa bir natural ədəd vardır (yalnız bir natural ədəd var).
c. Ardıcılığı 1 olan heç bir natural ədəd yoxdur.
d. İki natural ədədin ardıcılığı bərabərsə, natural ədədləri də bərabərdir.
Peano aksiomları
Peano aksiomları — natural ədədlər çoxluğunun təsvirində istifadə edilən, Qiuseppe Peano və Riçard Dedekind tərəfindən irəli sürülmüş dörd əsas və bir köməkçi aksiomdur. Bu aksiomlar aşağıdakılardır:
a. Verilən çoxluq boş deyil. Tərkibinə 1 adlandırılan obyekt daxildir.
1
∈
N
{\displaystyle 1\in \mathbb {N} }
b. Hər natural ədəd üçün onun ardıcılı deyilən başqa bir natural ədəd vardır (yalnız bir natural ədəd var).
c. Ardıcılığı 1 olan heç bir natural ədəd yoxdur.
d. İki natural ədədin ardıcılığı bərabərsə, natural ədədləri də bərabərdir.
Sermelo aksiomu
Sermelo aksiomu - yaxud seçmə prinsipi təsdiq edir ki, istənilən boş olmayan çoxluqlardan ibarət sinif üçün hər bir çoxluğa özünün bir elementini qarşı qoyan funksiya var. Başqa sözlə, Sermelo aksiomu hökm edir ki, boş olmayan çoxluqlardan ibarət istənilən sistemin hər bir çoxluğundan bir element götürmək olar.
Sermelo aksiomu 1904-cü ildə Sermelo tərəfindən ifadə edilmişdir. Sermelo bu aksioma, hər bir çoxluğun tam nizamlana bilməsi haqqında teoremi isbat edəndə əsaslanmışdır. Sermelo aksiomu riyaziyyatçılar arasında böyük mübahisəyə səbəb olmuşdur. Bir sıra riyazıyyatçılar onu qəbul etmirlər, buna görə də hər bir çoxluğun tam nizamlana bilməsini qəbul etmirlər.
Bununla belə, klassik riyazi analizin çox teoremlərinin isbatı müəyyən mənada Sermelo aksiomuna əsaslanır. Hal-hazırda Sermelo aksiomunun əvəzinə onunla ekvivalent olan və tətbiqi daha münasib olan Sorn lemmasından istifadə edirlər.
1. M.Mərdanov, S.Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti.
Tusi-Paş aksiomu
Tusi-Paş aksiomu – üçbucağın təpələrindən keçməyən düz xətt onun bir tərəfini kəsirsə, onda həmin düz xətt üçbucağın qalan iki tərəfindən yalnız birini kəsir.
Bu aksiom islam ölkələrində Tusi-Paş aksiomu, avropada və amerikada isə sadəcə "Paş aksiomu" adlanır. Aksiom şərq aləmində ilk dəfə XIII əsrdə yaşamış Azərbaycanlı alim Nəsirəddin Tusi, avropada isə əslən polşalı olan alman riyaziyyatçısı Morits Paş tərəfindən kəşf edilmişdir. Morits Paş bu aksiomu 1882-ci ildə kəşf etmişdir.
Ceremi Qrey: Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century, Springer 2007
Moritz Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882
Victor Pambuccian: The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces. Expositiones Mathematicae 29 (2011), 24-66 (pdf).
Evklidin paralellik aksioması
Evklidin paralellik aksiomu və ya beşinci postulatı — klassik planimetriyanın əsasını qoyan aksiomlardan biri. İlk dəfə Evklidin "Başlanğıclar" əsərində verilmişdir:
Əgər iki düz xəttin üzərinə düşən düz xətt bir tərəfdə iki düz bucaqdan az olan daxili bucaqlar əmələ gətirirsə, qeyri-müəyyən müddətə uzadılırsa, bu düz xətlər bucaqların iki düz bucaqdan az olduğu tərəfdə birləşəcək.
Evklid postulat və aksioma anlayışlarından onların fərqlərini izah etmədən istifadə edir; Evklidin Başlanğıclar əsərinin müxtəlif əlyazmalarında müddəaların aksioma və postulatlara bölünməsi fərqlidir, necə ki, onların sırası üst-üstə düşmür. Heyberqin "Principia" adlı klassik nəşrində qeyd olunan iddia beşinci postulatdır.