Adi diferensial tənliklər
Sərbəst dəyişən
x
{\displaystyle x}
, axtarılan funksiya
y
(
x
)
{\displaystyle y\left(x\right)}
və onun törəməsi
y
′
(
x
)
{\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)}
arasıda verilmiş
F
(
x
,
y
,
y
′
)
=
0
(
1
)
{\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)}
münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki,
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F\left(x,y,z\right)}
funksiyası
x
,
y
{\displaystyle x,y}
dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya
z
{\displaystyle z}
- dən hökmən asılı olmalıdır.
y
′
=
f
(
x
,
y
)
(
2
)
{\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)}
şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.Tutaq ki,
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f\left(x,y\right)}
funksiyası
X
O
Y
{\displaystyle XOY}
müstəvisinin muəyyən bir
D
{\displaystyle D}
oblastında təyin olunmuşdur.Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan
D
{\displaystyle D}
nöqtələr çoxluğu başa düşülür:
1)
D
{\displaystyle D}
açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir;
2)
D
{\displaystyle D}
çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə
D
{\displaystyle D}
– nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.Tərif. Əgər
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
inteqralında diferensiallanan
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}
funksiyası
1.
(
x
,
φ
(
x
)
)
∈
D
,
x
∈
(
a
,
b
)
2.
φ
(
x
)
=
f
(
x
,
φ
(
x
)
)
,
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}}
şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
intervalında həlli deyilir. Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.Tərif. Əgər
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
(
3
)
{\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}
bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}
funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş
x
=
φ
(
x
)
,
y
=
ψ
(
t
)
,
t
∈
(
α
,
β
)
(
4
)
{\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)}
funksiyası hər bir
t
{\displaystyle t}
üçün:
1)
(
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
∈
D
{\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D}
2)
x
′
=
φ
′
(
t
)
,
y
′
=
ψ
′
(
t
)
,
(
φ
′
(
t
)
≠
0
)
{\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)}
sonlu törəmələri və
3)
ψ
′
(
t
)
φ
′
(
t
)
=
f
(
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)}
bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin
(
α
,
β
)
{\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)}
inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.Misallar: 1.
y
′
=
2
x
{\displaystyle y^{\prime }=2x}
tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli
y
=
x
2
+
c
(
−
∞
<
x
<
+
∞
)
{\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)}
düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki,
y
′
=
2
x
{\displaystyle y^{\prime }=2x}
tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir.