HƏNDƏSƏ

Həndəsə (ing. geometry, rus. геометрия) – araşdırma obyektləri nöqtələr, xətlər, bucaqlar, əyrilər; onların qurulması üsulları, riyazi xassələri, həmçinin fəzada qarşılıqlı münasibətləri olan riyazi fənn. Həndəsə, avtomatlaşdırılmış layihələşdirmənin və qrafik proqramların önəmli hissəsidir. Həndəsə tarixi insan mədəniyyəti tarixi qədər qədim olan elmdir. Başqa elmlər kimi həndəsə elmi də insanların ehtiyac, tələbat və zəhməti nəticəsində meydana gəlmiş və inkişaf etmişdir. Hər bir elmdə olduğu kimi həndəsənin də məqsədi və özünəməxsus tədqiqat üsulları vardır. Rəvayətə görə ilk həndəsə Babilistan və Misirdə yaranmışdır. Yunan həndəsəşünası Proklun dediyinə görə Nil çayı daşıb sərhədləri pozduğundan onun ətrafını tez-tez ölçmək lazım gəlirdi və bu zərurətdən həndəsə yarandı. Geometriya yunanca "yer ölçürəm" deməkdir və elə buradan da götürülüb.

Analitik həndəsə- həndəsə bölməsi; nöqtə, düz xətt, müstəvi, vektor, ikitərtibli xətt, ikitərtibli səth və onlara dair məsələləri öyrənir. Həndəsi işə Cəbriyyə analizi tətbiq edən və Cəbriyyə problemlərin həllində həndəsi anlayışları istifadə edən bir riyaziyyat sahəsi. Rene Dekart cəbr və həndəsəni birləşdirən analitik həndəsənin ixtiraçısıdır. Əsas tədqiqat vasitələri koordinat üsulu və cəbri üsullardır. Koordinat üsulu 17-ci əsrdə astronomiya, mexanika və texnikanın sürətli inkişafı ilə əlaqədar yaradılmışdır. Müasir dövrdə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindən başqa daha ümumi olan afin koordinat sistemi və digər koordinat sistemlərindən istifadə edilir. Düz xətt üzərində nöqtənin bir, müstəvi üzərində iki (x – absis, y – ordinat), fəzada isə üç (x – absis, y – ordinat, z – aplikat) koordinatı olur. Müstəvi üzərində xətt koordinatları f(x,y)=0 tənliyini ödəyən nöqtələr çoxluğu kimi tərif olunur. f(x,y) funksiyası x və y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli çoxhədli olarsa, f(x,y)=0 xəttinə n tərtibli cəbri xətt deyilir. Analitik həndəsədə bir və ikitərtibli cəbri xətlər öyrənilir.

Oriyentasiya anlayışını bazis vektorların köməyi ilə müəyyən etmişdir.Lakin oriyentasiya anlayışı sırf topoloji termindir.Çoxobrazlının oriyentasiyasını müəyyən etmək üçün onun hər hansı k şəbəkəli ayrılışına baxaq. Əvvəlcə hər hansı şəbəkəni oriyentasiyalaq. Fərz edək ki X-in şəbəkəli ayrılışında hər hansı bir şəbəkəni götürmüşük. F şəbəkəsini oriyentasiyalamaq üçün onun tərəflərini oriyentasiyalayaq. AB tərəfi o zaman oriyentasiyalanmış hesab olunur ki, onun hansı təpə nöqtənin birinci, hansının ikinci olması məlum olsun.AB ⇒ A — I; B — II və BA ⇒ B — I; A — II. kimi müəyyən etsək tərəf oriyentasiyalanmış hesab olunacaqdır. Deməliç hər bir tərəfi 2 cür oriyentasiyalamaq olar.Şəbəkənin tərəflərinin birini oriyentasiyaladıqdan sonra bütün şəbəkəni oriyentasiyalamaq olar. Bunun üçün AB tərəfinin hər hansı bir oriyentasiyasını götürürlər. AB-nin II təpə nöqtəsini bununla ortaq təpəyə malik olan o biri tərəf üçün üçün birinci təpə götürürlər və prosesi bu qaydada davam etdirirlər. Aydındır ki, hər bir şəbəkəni bu qaydada 2 cür oriyentasiyalamaq olar. F1 şəbəkəsini oriyetasiyaladıqdan sonra kimi işarə olunur.

Evklid həndəsəsi (və ya elementar həndəsə) — e.ə. III əsrdə Evklid tərəfindən elmə ilk dəfə daxil edilmiş, aksiom sisteminə əsaslanmış həndəsi nəzəriyyə. Elementar həndəsə - yerdəyişmələr toplumu (izometriya) və oxşarlıq toplumları ilə təyin olunan həndəsədir. Ancaq elementar həndəsənin məzmunu bu formadəyişmələr ilə məhdudlaşmır. Belə ki, elementar həndəsə həmçinin inversiya, sferik həndəsə məsələləri, həndəsi elementlərin quruluşu, həndəsi kəmiyyətləri ölçmə nəzəriyysi və digər suallar da aid edilir. Elementar həndəsəni çox vaxt "evklid həndəsəsi" adlandırırlar, çünki onun təməli nizamlı olmasa da "Başlanğıclar"da təsvir olunmuşdu. İlk dəfə olaraq olaraq elementar həndəsənin aksiomatikası 1899-cu ildə David Hilbert tərəfindən işlənmişdir. Elementar həndəsə orta təhsil məktəblərində tədris olunur. Elemntar həndəsənin tamam aksiomlaşdırılması problemi həndəsnin Qədim yunandnda yaranmış problemlərindən biridir. O zamanlar bu problem Evklid həndəsəsinin təsdiqlənməsinin aksiomlar əsasında, heç bir cizgiyə ehtiyac olmadan məntiqi olaraq alınmasına edilən cəhdin tənqidi əsasında yaranmışdr.

"Fokus" sözü latın dilində "ocaq", "od" deməkdir. Bu termini elmə Kepler daxil etmişdir(1604). O bu sözü ərəblərdən tərcümə etmişdir. Ərəblər parabolanın foksuna "alışma nöqtəsi", parabolanın özünə isə "alışdırıcı güzgü" deyirlər. Kepler bu termini ellipsin və hiperbolanın fokuslarına da aid etmişdir. Ellipsin foksu - Ellips müstəvinin, verilmiş iki nöqtəsindən məsafələri cəmi sabit olan nöqtələr çoxluğudur. Həmin iki nöqtə ellipsin fokusları adlanır. Parabolanın foksu - Parabola, müstəvinin verilmiş nöqtəsindən və verilmiş düz xəttindən eyni məsafədə olan nöqtələr çoxluğudur. Həmin nöqtə parabolanın foksu adlanır. Hiperbolanın foksu - Hiperbola müstəvinin verilmiş iki nöqtəsindən məsafələri fərqinin modulu sabit olan nöqtələr çoxluğudur.

Həndəsə (fr. La Géométrie) — 1637-ci ildə Leydendə (Hollandiya) nəşr olunan Rene Dekartın əsəri, Dekartın "Metod haqqında mühakimə" fəlsəfi traktatına üçüncü əlavəsi. Səhifələrinin sayı 106-dır. İlk nəşrdə müəllifin adı göstərilməyib. Bu Dekartın tamamilə riyaziyyata həsr olunmuş işidir; müəllif tərəfindən onun ümumi metodlarının tətbiqi nümunəsi kimi qəbul edilmişdir. 1637-dən sonra Həndəsə "Metod haqqında əsaslandırma"dan ayrıca nəşr olundu. Dekartın "Həndəsə"si yeni riyaziyyatın inkişafında bir dönüş nöqtəsi oldu,bu XVII əsrin ən böyük riyaziyyatçılarının stolüstü kitabı idi. Kitabın əsas dəyəri, riyaziyyatın yeni bir qolunun - analitik həndəsənin təqdimatı olması idi ki, bu da həndəsi koordinatları istifadə edərək həndəsi problemləri cəbr dilinə tərcümə etməyə imkan verdi və bununla da onların öyrənilməsini və həllini asanlaşdırdı. Bundan əlavə,o andan etibarən elmdə qəbul edilən,"Həndəsə"də Dekart rahat riyazi simvollardan istifadə etmişdir. Nəhayət — müasir terminologiyada,funksiyalarda —"Həndəsə" riyaziyyatçıların diqqətini ədədi dəyərləri öyrənmədən aralarındakı münasibətləri öyrənməyə,dəyişməyə başladı.

Nöqtə — həndəsənin əsas elementlərindən biridir. Onun fəzada heç bir ölçüsü yoxdur. Həndəsəyə aksiom baxımından yaxınlaşdıqda (Sintetik həndəsə) nöqtə ilə bərabər düz xətt də eyni səviyyədə çıxış edir. Analitik və difersial həndəsədə isə bütün başqa obyektlər nöqtələr çoxluğu kimi təsvir olunurlar. Yunan filosofu Evklid e.ə. 300-ci ildə nöqtəni bölünməyən bir hissə kimi təsvir etmişdir. Nəzəri cəhətcə nöqtənin təsdiqinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Müasir aksiom sistemləri isə bunu inkar edirlər. Məsələn, Hilbert aksiom sisteminə görə həmişə iki nöqtə bir xətti əmələ gətirir. Proyeksiya müstəvisində nöqtə və düz xətt amlayışları hətta bir-biri ilə dəyişilə bilər.

Ox — cismin dövrü hərəkəti zamanı, ətrafında firlandığı, hər hansi bir nöqtəsindən keçən həqiqi və ya xəyali mərkəzi xətt.

Həndəsədə paralel xəttlər — bir-biri ilə heç vaxt kəsişməyən düz xəttlərə deyilir.

Proyektiv həndəsə — həndəsənin proyektiv xassələrini, yəni müstəvinin (fəzanın) özünə bütün proyektiv çevirmələrində invariant qalan xassələrini öyrənən bölməsidir. Proyektiv həndəsə proyektiv çevirmələr qrupu ilə təyin olunan həndəsədir. Proyektiv həndəsənin mənbəyi proyeksiyallama üsuludur. Proyektiv həndəsə adı da buradan əmələ gəlmişdir. Proyektiv həndəsə əsas anlayışlarından biri “dörd nöqtənin mürəkkəb nisbəti” anlayışıdır. İkilik prinsipi də proyektiv həndəsənin əsas anlayışlarından biridir. Proyektiv həndəsə qeyri-evklid həndəsənin bölməsidir. M.Mərdanov, S.Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti. Bakı 2016, "Radius nəşriyyatı", 296 səh. "Fizika, riyaziyyat və informatika tədrisi" jurnalları, 2000-2012-ci illər,Bakı.

Sferik həndəsə — həndəsənin sfera üzərində yerləşən fiqurların xassələrini öyrənən bölməsidir. Sferik həndəsə müəyyən dərəcədə planimetriyaya, yəni həndəsənin müstəvi üzərində yerləşən fiqurların xassələrini öyrənən bölməsinə bənzəyir. Sferanın böyük çevrələri müstəvi üzərində düz xətlərin oynadığı rolu oynayır. Sferanın eyni diametrinin ucları olmayan ixtiyari iki nöqtəsindən bir böyük çevrə keçir. Bu fakt planimetriyada iki müxtəlif nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir aksiomuna bənzəyir. Buna baxmayaraq, sferik həndəsə paralel düz xətlər yoxdur. Evklid müstəvisində və Lobaçevski həndəsəsində paralel düz xətlər var. Sferik həndəsə əsas fiqurları sferik üçbucaq, sferik ikibucaqlı, sferik çoxbucaqlıdır (Sferik çoxbucaqlının tərəfləri böyük çevrənin, uzunluqları yarımçevrənin uzunluğundan kiçik olan qövsləridir). Sferik həndəsə geodeziyada, astronomiyada, coğrafiyada, dənizçilikdə və s. tətbiq olunur.

Tərsimi həndəsə — riyaziyyatla texnikanın vəhdətini təşkil edən həndəsənin bölməsi. Həndəsənin bu bölməsində fəza cisimlərinin (hansı ki, nöqtələr, xətlər və səthlər çoxluğundan təşkil olunur) müstəvilər üzərində təsvir olunma (proyeksiyasının alınması) üsullarından və müstəvilər üzərindəki təsvirlər (proyeksiyalar) vasitəsilə cismin fəzadakı vəziyyətini müəyyən edilməsi qaydalarından bəhs olunur (ümumi halda bu deyilənlərə m ölçülü fəzanın n ölçülü fəzada təsviri kimidə baxıla bilər). Həmçinin, müstəvilər üzərində təsvir olunmuş cisimlərə aid həndəsi xarakterli məsələlərin qrafiki həll üsulları da bu bölmədə öyrənilir. Tərsimi həndəsə bölməsi mühəndis təhsilinin əsasını təşkil edən fənlərdəndir və onun əsas vəzifələrindən biri gələcək mühəndislərdə fəza təsəvvürünü inkişaf etdirməkdir. Tərsimi həndəsə bölməsində alınan bəzi nəticələr praktikada cizgilərin tərtibində geniş istifadə olunur. Tərsimi həndəsə - MÜHƏNDİS QRAFİKASI, Ali məktəblər üçün dərslik ― Mustafayev M.R. , Qurbanov N.Ə., Mirzəyev S.H., Bağırov A.M. ― Bakı. 2003. 293səh.

Vektor — riyaziyyatın müxtəlif sahələrində müxtəlif cür təyin olunur. Xətti cəbrdə vektor — vektor fəzasının (və ya xətti fəzanın) elementidir. Vektorları ədədə vurmaq olar, eləcə də onları toplamaq olar. Vektorları həmçinin başqa vektorların xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Bazis bir-birindən xətti asılı olmayan elə vektorlar küllüsünə deyilir ki, həmin vektorlarla bütün fəzanı əhatə etmək olar. Sonlu fəzada sonlu bazis vektorlar mövcuddur və bu zaman fəzanın hər bir vektorunu bu bazis vektorları ilə yeganə şəkildə aşağıdakı şəkildə ayırmaq mümkündür: x → = ∑ i = 1 n x i e → i , {\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i},} burada e → 1 , … , e → n {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}} — bazis, x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} isə x → {\displaystyle {\vec {x}}} vektorunun verilmiş bazisdə koordinatlarıdır. Həndəsədə vektor anlayışı cəbrdəkindən fərqlənir. Belə ki, burada vektorlar; sərbəst və rabitəli vektora ayırırlar. Rabitəli vektor və ya istiqamətlənmiş parça (istiqamətlənmiş düz xətt parçası) — Evklid fəzasında nizamlı nöqtələr cütlüyüdür. Sərbəst vektor — istiqamətlənmiş düz xətt parçalarının ekvivalentlik sinfidir.

Çevrə — müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələr çoxluğunun əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura deyilir. Həmin nöqtəyə isə çevrənin mərkəzi deyilir. Çevrənin elementləri radius, vətər, diametr və qövsdən ibarətdir. Bir həndəsi cismi formalaşdıran kənarların uzunluqlarının cəmlənməsi ilə əldə edilən bir həndəsi termindir. Çevrənin dərəcə ölçüsü 360°-dir. Çevrə elementar həndəsənin tərkib hissəsidir. Çevrənin mərkəzini onun istənilən nöqtəsi ilə birləşdirən düz xətt parçasina radius deyilir. Çevrənin radiusu diametrinin yarısına bərabərdir. Çevrənin sonsuz sayda radiusu var. Çevrənin istənilən 2 nöqtəsini birləşdirən parçaya vətər deyilir.

Şüa — düz xəttin üzərindəki hər hansı bir nöqtədən eyni tərəfdə yerləşən (həmin nöqtə də daxil olmaqla) nöqtələr çoxluğudur. Bir tərəfdən məhdud olan düz xəttt hissəsinə şüa və ya yarım düz xətt deyilir. Bir düz xətt üzərində olan ortaq başlanğıclı iki yarım düz xəttə tamamlayıcı yarım düz xətt və ya şüa deyilir. Şüanın mərkəzi simmetriyası yoxdur.

Piramida (yunanca πυραμίς və ya πυραμίδος) — oturacağı çoxbucaqlı, qalan üzləri ortaq təpəyə malik üçbucaqlar olan çoxüzlü. Oturacaq çoxbucaqlısının bucaqlarının sayına görə piramidaları üçbucaqlı, dördbucaqlı və s. ayrırırlar. Piramida konusun xüsusi halıdır. Bir çoxüzlü bucaq götürək və onun bütün tillərini kəsən müstəvi keçirək. Çoxüzlü bucaqın S təpəsinin aid olduğu yarımfəzada SABDEF çoxüzlüsü alınır. Bu çoxüzlünün bir üzü ABCDEF çoxbucaqlısı qalan üzləri isə bir təpəsi S olan ortaq təpəsi üçbucaqlıdır. ASB, BSC,…….., FSA, belə çoxüzlülər piramida adlanır. piramidaOrtaq təpəli üçbucaqlara piramidanın yan üzləri, onların birləşməsinə piramidanın yan səthi, çoxbucaqlıya piramidanın oturacağı, bütün yan üzlərin ortaq tərəfinə piramidanın yan tilləri, təpədən oturacaq müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyara piramidanın hündürlüyü deyilir. Bir üzü hər hansı çoxbucaqlı, qalan üzləri ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoxüzlüyə piramida deyilir.

Evklid həndəsəsi (və ya elementar həndəsə) — e.ə. III əsrdə Evklid tərəfindən elmə ilk dəfə daxil edilmiş, aksiom sisteminə əsaslanmış həndəsi nəzəriyyə. Elementar həndəsə - yerdəyişmələr toplumu (izometriya) və oxşarlıq toplumları ilə təyin olunan həndəsədir. Ancaq elementar həndəsənin məzmunu bu formadəyişmələr ilə məhdudlaşmır. Belə ki, elementar həndəsə həmçinin inversiya, sferik həndəsə məsələləri, həndəsi elementlərin quruluşu, həndəsi kəmiyyətləri ölçmə nəzəriyysi və digər suallar da aid edilir. Elementar həndəsəni çox vaxt "evklid həndəsəsi" adlandırırlar, çünki onun təməli nizamlı olmasa da "Başlanğıclar"da təsvir olunmuşdu. İlk dəfə olaraq olaraq elementar həndəsənin aksiomatikası 1899-cu ildə David Hilbert tərəfindən işlənmişdir. Elementar həndəsə orta təhsil məktəblərində tədris olunur. Elemntar həndəsənin tamam aksiomlaşdırılması problemi həndəsnin Qədim yunandnda yaranmış problemlərindən biridir. O zamanlar bu problem Evklid həndəsəsinin təsdiqlənməsinin aksiomlar əsasında, heç bir cizgiyə ehtiyac olmadan məntiqi olaraq alınmasına edilən cəhdin tənqidi əsasında yaranmışdr.

Evklidin "Əsaslar" əsərinin 1-ci fəslindəki 5-ci postulat: Düz xətt digər iki düz xətti kəsdikdə cəmi 180°-dən kiçik olan daxili birtərəfli bucaqlar əmələ gətirirsə, onda verilmiş iki düz xətt cəmi 180°-dən kiçik olan daxili birtərəfli bucaqların yerləşdiyi tərəfdə kəsilmiş olsunlar. Bu postulatın isbatı ilə bağlı bir çox riyaziyyatçılar cəhdlər göstərsə də, 5-ci postulat probleminin həlli görkəmli rus riyaziyyatçısı N.İ.Libaçevskinin adı ilə bağlıdır. O, bu problemin həlli ilə bağlı apardığı tədqiqatların nəticələrinə dair 1826- cı ildə Kazan Universitetinin Elmi Şurasında məruzə etmişdir. 1829-cu ildə bu nəticələri "Həndəsənin əsaslarına dair" adlı elmi şəklində "Kazan Universitetinin Xəbərləri" məcmuəsində dərc etmişdir. Bu məqalədə Lobaçevski göstərmişdir ki, Evklidin 5-cu postulatı onun qalan postulatlarından asılı deyil. Ona görə də bu postulat onu inkar edən təkliflə əvəz edilərsə, keyfiyyətcə yeni olan bir həndəsə yaranar. Lobaçevki yeni həndəsəni "təsəvvür olunan həndəsə" adlandırmışdır.

Riman həndəsəsi (elliptik həndəsə) — qeyri-Evklid həndəsələrindən biri; Evklid həndəsəsinin aksiomlarından fərqli aksiomlara əsaslanan həndəsi nəzəriyyə. Üçölçülü Riman həndəsəsinin əsas obyektləri (elementləri) nöqtə, düz xətt və müstəvi, əsas anlayışları isə aidlik (nöqtənin düz xəttə və müstəviyə aidliyi), tərtib (məsələn, düz xətt üzərində nöqtələrin tərtibi və ya müstəvidə götürülmüş nöqtədən çıxan düz xətlərin tərtibi) və fiqurların konqruyentliyidir. Riman həndəsəsi Bernhard Rimanın "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Həndəsənin əsaslandığı fərziyyələr haqqında) adlı ilk mühazirəsində ifadə etdiyi nəzəri baxışların əsasında formalaşmışdır. Riman həndəsəsi R3 fəzasındakı səthlərin diferensial həndəsəsinin çox geniş və mücərrəd bir ümumiləşməsidir. Riman həndəsəsinin inkişafı səthlərin həndəsəsi və onların geodezik əyrilərin (geodeziklərin) davranışı ilə bağlı müxtəlif nəticələrin sintezi, daha yüksək ölçülü diferensiallanan çoxobrazlıların tədqiqində tətbiq oluna bilən üsulların meydana çıxmasıyla nəticələndi. O, Eynşteynin ümumi nisbilik nəzəriyyəsinin formalaşmasına imkan verməklə yanaşı qrup nəzəriyyəsi və təqdimat nəzəriyyəsinə, eləcə də riyazi analizə dərin təsir göstərdi və cəbri və diferensial topologiyanın inkişafına təkan verdi. Riman həndəsəsi ilk dəfə 19-cu əsrdə Bernhard Riman tərəfindən ümumiləşmiş formada irəli sürmüşdür. O, metrik xassələri nöqtədən nöqtəyə dəyişən genişhəcmli həndəsi aralıqlarla, o cümlədən qeyri-Evklid həndəsəsinin standart növləri ilə məşğul olmuşdur. Hər bir hamar çoxobrazlı Riman metrikasını qəbul edir ki, bu da bir çox hallarda diferensial topologiya məsələlərini həll etməyə kömək edir. Həmçinin o (dörd ölçüdə) ümumi nisbilik nəzəriyyəsinin əsas obyektləri olan psevdo-Riman çoxobrazlılarının daha mürəkkəb strukturu üçün giriş səviyyəsi kimi yararlıdır.

Qeyri-Evklid həndəsəsi — hərfi mənada Evklid həndəsəsindən fərqlənən hər hansı həndəsi sistemdir; lakin ənənəvi olaraq “qeyri-evklid həndəsəsi” termini daha dar mənada istifadə olunur və yalnız iki həndəsi sistemə aiddir: Lobaçevski həndəsəsi və sferik həndəsə. Evklid kimi bu həndəsələr sabit əyrilik fəzasının metrik həndəsələrinə aiddir. Sıfır əyilmə Evklid həndəsəsinə, müsbət əyilmə — sferik, mənfi əyilmə - Lobaçevski həndəsəsinə uyğundur .