determinant

Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş. Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir. Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır. 2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır: | A | = | a b c d | = a d − b c . {\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}} Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı: | A | = | a b c d e f g h i | = a | ◻ ◻ ◻ ◻ e f ◻ h i | − b | ◻ ◻ ◻ d ◻ f g ◻ i | + c | ◻ ◻ ◻ d e ◻ g h ◻ | = a | e f h i | − b | d f g i | + c | d e g h | = a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h . {\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}} Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər. == Xassələri == Determinantın xassələri: Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur. Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.

n-tərtibli iki D 1 {\displaystyle D_{1}} və D 2 {\displaystyle D_{2}} determinantlarının verildiyini fərz edək: D 1 = | a 11 a 12 … a 1 j … a 1 n a 21 a 22 … a 2 j … a 2 n … … … … … … a i 1 a i 2 … a i j … a i n … … … … … … a n 1 a n 2 … a n j … a n n | {\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nj}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}} , D 2 = | b 11 b 12 … b 1 j … b 1 n b 21 b 22 … b 2 j … b 2 n … … … … … … b i 1 b i 2 … b i j … b i n … … … … … … b n 1 b n 2 … b n j … b n n | {\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1j}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2j}&\ldots &b_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{i1}&b_{i2}&\ldots &b_{ij}&\ldots &b_{in}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{n1}&b_{n2}&\ldots &b_{nj}&\ldots &b_{nn}\\\end{vmatrix}}} Məqsədimiz bu iki determinantın hasilini yeni bir -tərtibli determinant şəklində axtarmaqdır. Bunun üçün determinantların vurulma qaydası var ki, bu da aşağıdakı teoremə əsaslanır: TEOREM: n-tərtibli iki D 1 {\displaystyle D_{1}} və D 2 {\displaystyle D_{2}} determinantlarının hasili elə bir n {\displaystyle n} -tərtibli D {\displaystyle D} determinantına bərabərdir ki, D {\displaystyle D} -nin ixtiyari c i j {\displaystyle c_{ij}} elementi D 1 {\displaystyle D_{1}} -in i {\displaystyle i} -ci sətir elementləri ilə D 2 {\displaystyle D_{2}} -nin j {\displaystyle j} -ci sütununun uyğun elementlərinin hasilləri cəmindən ibarətdir, yəni: c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + + a i n b n j , ( i , j = 1 , 2 , . . . , n ) . {\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}++a_{in}b_{nj},(i,j=1,2,...,n).} (1) Burada c i j {\displaystyle c_{ij}} elementi hasil D {\displaystyle D} determinantının ixtiyari elementidir. Ədəbiyyat Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi" В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000. Кострикин А. И. Введение в алгебру.

Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş. Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir. Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır. 2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır: | A | = | a b c d | = a d − b c . {\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}} Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı: | A | = | a b c d e f g h i | = a | ◻ ◻ ◻ ◻ e f ◻ h i | − b | ◻ ◻ ◻ d ◻ f g ◻ i | + c | ◻ ◻ ◻ d e ◻ g h ◻ | = a | e f h i | − b | d f g i | + c | d e g h | = a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h . {\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}} Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər. == Xassələri == Determinantın xassələri: Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur. Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.

n {\displaystyle n} -ölçülü U {\displaystyle U} unitar fəzanın x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} vektorlarının ( x i , x j ) {\displaystyle (x_{i},x_{j})} skalyar hasillərindən düzəldilən n {\displaystyle n} Γ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = | ( x 1 , x 1 ) ( x 1 , x 2 ) … ( x 1 , x n ) ( x 2 , x 1 ) ( x 2 , x 2 ) … ( x 2 , x n ) … … … … ( x n , x 1 ) ( x n , x 2 ) … ( x n , x n ) | {\displaystyle \Gamma (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1},x_{1})&(x_{1},x_{2})&\ldots &(x_{1},x_{n})\\(x_{2},x_{1})&(x_{2},x_{2})&\ldots &(x_{2},x_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\(x_{n},x_{1})&(x_{n},x_{2})&\ldots &(x_{n},x_{n})\\\end{vmatrix}}} determinantına x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} vektorlarının Qram determinantı deyilir.