Eyler üsulu
Ardıcıl yaxınlaşma üsulunda hər bir yaxınlaşmada müəyyən inteqrallar hesablanır. Əksər hallarda müəyyən inteqralları dəqiq üsullarla hesablamaq mümkün olmur və təqribi üsullardan istifadə olunur.
Tutaq ki,
y
′
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y^{\prime }(x)=f(x,y)}
diferensial tənliyinin
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}
başlanğıc şərtini ödəyən həllini
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasında tapmaq tələb olunur
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasını
h
{\displaystyle h}
addımı ilə
n
{\displaystyle n}
bərabər hissəyə bölək:
h
=
b
−
a
n
,
x
i
=
x
0
+
i
h
,
(
i
=
0
,
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}},x_{i}=x_{0}+ih,(i=0,1,2,\ldots )}
[
x
k
,
x
k
+
1
]
{\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}
parçasında tənliyini inteqrallayaq.
∫
x
k
x
k
+
1
y
′
(
x
)
d
x
=
∫
x
k
x
k
+
1
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}y^{\prime }(x)\,dx=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx}
y
(
x
)
|
x
k
x
k
+
1
=
∫
x
k
x
k
+
1
f
(
x
,
y
)
d
x
⇒
y
(
x
k
+
1
)
=
y
(
x
k
)
+
∫
x
k
x
k
+
1
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle y(x)|_{x_{k}}^{x_{k+1}}=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx\Rightarrow y(x_{k+1})=y(x_{k})+\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx}
(1)
[
x
k
,
x
k
+
1
]
{\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}
parçasında
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
funksiyasının qiymətini sabit,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k})}
nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürsək (1) aşağıdakı kimi yazılar:
y
(
x
k
+
1
)
=
y
(
x
k
)
+
f
(
x
k
,
y
k
)
(
x
k
+
1
−
x
k
)
=
y
(
x
k
)
+
f
(
x
k
,
y
k
)
h
{\displaystyle y(x_{k+1})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})(x_{k+1}-x_{k})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})h}
(2)
(2)
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k})}
nöqtəsində tənliyin
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
həllinə çəkilmiş toxunanın tənliyidir. Sanki
[
x
k
,
x
k
+
1
]
{\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}
parçasında tənliyin həlli abisisi
x
k
{\displaystyle x_{k}}
olan nöqtədə çəkilmiş toxunana paralel və
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k})}
nöqtəsindən keçən düz xətt parçası ilə əvəz olunur. Nəticədə həllə yaxın sınıq xətləri alırıq ki, bu sınıq xəttə Eyler sınıq xətti deyilir.