Eyler çevrilməsi
Eyler çevrilməsi — nəticə verə bilən funksiyalar arasındakı əlaqə, bəzi hallarda Eyler çevrilməsi olaraq adlandırılır. İki fərqli formada var olan çevrilmə, ardıcıl silsilələrin yığılmasını sürətləndirə bilir. Başqa bir deyimlə,
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Δ
n
a
0
2
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}
ifadəsində x yerinə 1/2 qoyularaq 1 əldə edilə bilir. Sağdakı elementlər çox sürətli şəkildə kiçildikləri üçün bu cəm asanlıqla hesablana bilir.
Eyler çevrilməsi aşağıdakı formada ümumiləşdirilə bilər:
p = 0, 1, 2, … üçün
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
p
n
)
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
p
n
)
Δ
n
a
0
2
n
+
p
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}}
bərabərliyi təmin edilir.
Eyler çevrilməsi
2
F
1
{\displaystyle \,_{2}F_{1}}
hipergeometrik silsiləsinə sıxlıqla tətbiq edilir. Bu halda Eyler çervilməsi
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
b
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}
olaraq ifadə edilə bilir.
Binom çevrilməsi və bunun fərqli bir tətbiqi olan Eyler çevrilməsi bir ədədin daimi kəsr olaraq ifadə edilməsində böyük əhəmiyyət daşıyır.
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
ədədinin daimi kəsr ifadəsinin
x
=
[
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}
olduğu güman edilərsə, burdan
x
1
−
x
=
[
0
;
a
1
−
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}
və
x
1
+
x
=
[
0
;
a
1
+
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]}
nəticələri alınır.
