ÇOXHƏDLİ

Çoxhədli və ya polinom – sonlu sayda birhədlinin cəmi. Bu birhədlilərin ən böyüyünün dərəcəsinə çoxhədlinin dərəcəsi deyilir.Məsələn, z 2 y 4 x 7 + 6 x y 5 + 7 {\displaystyle z^{2}y^{4}x^{7}+6xy^{5}+7} çoxhədlisinin dərəcəsi 13-dür (2+4+7). Riyaziyyatda, çoxhədli və ya polinom, aralarında yalnız toplama, çıxma, vurma və qeyri-mənfi tam dərəcəyə yüksəltmə əməliyyatları olan dəyişənlər (və ya məchullar) və əmsallardan ibarət ifadədir. Vahid x {\displaystyle x} məchulu olan çoxhədliyə misal olaraq x 2 − 4 x + 7 {\displaystyle x^{2}-4x+7} ifadəsini göstərmək olar. x 3 + 2 x y z 2 − y z + 1 {\displaystyle x^{3}+2xyz^{2}-yz+1} ifadəsi isə, üç-dəyişənli çoxhədliyə misaldır. Çoxhədlilər, riyaziyyat və elmin digər sahələrinin geniş spektrə malik müxtəlif istiqamətlərində istifadə olunurlar. Məsələn, onlar, elmin ən sadə problemlərindən ən mürəkkəb problemlərinə qədər bir çox hadisəni izah edən polinomial tənliklərin həlli kimi meydana çıxır, kimya və fizikadan iqtisadiyyat və ictimai elmlərə kimi bir çox məsələlərinin izah edilməsində rol oynayan polinomial funksiyaların təyin edilməsində, digər funksiyaların approksimasiyası və təqribi olaraq hesablanmasında iştirak edirlər. Hədlərinin dərəcəsi eyni olan çoxhədli birсins çoxhədli və ya forma adlanır. Məsələn, x 2 y 7 + x 3 y 6 + 7 x 8 y {\displaystyle x^{2}y^{7}+x^{3}y^{6}+7x^{8}y} . Çoxhədlilərin toplanması, çıxılması və vurulması, uyğun olaraq kommutativlik, assosiativlik və distributivlik xassələrinə əsasən aparılır.

Abel çoxhədlisi çoxhədli ardıcıllığının bir formasıdır.n-ci həddə bağlı forma aşağıda verilmişdir. p n ( x ) = x ( x − a n ) n − 1 . {\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.} Bu ardıcıllıq adını Norveçli riyaziyyatçı olan Nils Henrik Abelin adından almışdır. . == Misallar == a=1 əmsalı üçün və n-in qiymətinin dəyişməsi əsasında aşağıdakı nümunələri almaq olar. p 0 ( x ) = 1 ; {\displaystyle p_{0}(x)=1;} p 1 ( x ) = x ; {\displaystyle p_{1}(x)=x;} p 2 ( x ) = − 2 x + x 2 ; {\displaystyle p_{2}(x)=-2x+x^{2};} p 3 ( x ) = 9 x − 6 x 2 + x 3 ; {\displaystyle p_{3}(x)=9x-6x^{2}+x^{3};} p 4 ( x ) = − 64 x + 48 x 2 − 12 x 3 + x 4 ; {\displaystyle p_{4}(x)=-64x+48x^{2}-12x^{3}+x^{4};} a=2, əmsalı və n-in dəyişməsində çoxhədli p 0 ( x ) = 1 ; {\displaystyle p_{0}(x)=1;} p 1 ( x ) = x ; {\displaystyle p_{1}(x)=x;} p 2 ( x ) = − 4 x + x 2 ; {\displaystyle p_{2}(x)=-4x+x^{2};} p 3 ( x ) = 36 x − 12 x 2 + x 3 ; {\displaystyle p_{3}(x)=36x-12x^{2}+x^{3};} p 4 ( x ) = − 512 x + 192 x 2 − 24 x 3 + x 4 ; {\displaystyle p_{4}(x)=-512x+192x^{2}-24x^{3}+x^{4};} p 5 ( x ) = 10000 x − 4000 x 2 + 600 x 3 − 40 x 4 + x 5 ; {\displaystyle p_{5}(x)=10000x-4000x^{2}+600x^{3}-40x^{4}+x^{5};} p 6 ( x ) = − 248832 x + 103680 x 2 − 17280 x 3 + 1440 x 4 − 60 x 5 + x 6 ; {\displaystyle p_{6}(x)=-248832x+103680x^{2}-17280x^{3}+1440x^{4}-60x^{5}+x^{6};} == İstinadlar == Rota, Gian-Carlo. "All Polynomials of Binomial Type Are Represented by Abel Polynomials". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze Sér. 4. 25 (3–4). 1997: 731–738.

Riyaziyyatda, Lejandr funksiyaları aşağıdakı Lejandr differensial tənliyinin dəqiq həlli şəklində meydana çıxır: d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P n ( x ) ] + n ( n + 1 ) P n ( x ) = 0. {\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.} Bu funksiyalara məşhur fransiz riyaziyyatçısı Adrien Mari Lejandrın şərəfinə Lejandr funksiyaları adı verilmişdir. Yuxarıda göstərilən adi diferensial tənlik fizika və bir çox digər təbiət və texniki elm sahələrinin müxtəlif məsələlərinin izah edilməsi zamanı meydana çıxır və uğurla tətbiq edilir. Məsələn, Laplas tənliyinin (və uyğun xüsusi törəməli differensial tənliklərin) sferik koordinatlarda dəqiq həlli məhz bu funksiyalara gətirib çıxarır. Lejandr diferensial tənliyi adi qüvvət sıraları üsulundan istifadə etməklə dəqiq həll edilə bilər. Bu tənlik x = ±1 qiymətlərində requlyar sinqulyar nöqtələrə malikdir. Bu səbəbdən də, ümumilkdə, qüvvət sıraları üsulu ilə tapilan həll əslində yalnız |x| < 1 şərti çərçivəsində doğrudur. n tam ədəd olduğu zaman isə, x = 1 qiymətində requlyar olan Pn(x) həlli, eyni zamanda, x = −1 qiymətində də requlyar olacaq ki, bu səbəbdən də bu həllin sonsuz sıra şəkli kəsilərək sonlu cəm şəklinə düşəcək (bağqa sözlə, çoxhədliyə çevriləcək).

Lommel polinomu Rm,ν(z), Oygen Lommel tərəfindən açıqlanıb, içində 1/z olan polinom qayıdış əlaqəsi verir. J m + ν ( z ) = J ν ( z ) R m , ν ( z ) − J ν − 1 ( z ) R m − 1 , ν + 1 ( z ) {\displaystyle \displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)} burada Jν(z) birinci növ Bessel funksiyasıdır. R m , ν = ∑ n = 0 [ m / 2 ] ( − 1 ) m ( m − n ) ! Γ ( ν + m − n ) n ! ( m − 2 n ) ! Γ ( ν + n ) ( z / 2 ) 2 n − m .

Riyaziyyatda, həqiqi çoxhədlilərin sonsuz ardıcıllığına daxil olan iki müxtəlif çoxhədlinin L 2 {\displaystyle L^{2}} fəzasında verilmiş müəyyən skalyar hasilə görə bir-birinə ortoqonal olmasına ortoqonal çoxhədlilərin ardıcıllığı deyilir. Geniş istifadə olunan ortoqonal çoxhədlilərə misal olaraq, Ermit, Lagerr, Yakobi və onların xüsusi halı olan Gegenbauer, Çebışev və Lejandr çoxhədliləri kimi klassik ortoqonal çoxhədliləri göstərmək olar. Ortoqonal çoxhədlilər anlayışı, XIX əsrdə P.L. Çebışev tərəfindən kəsilməz kəsrlərin öyrənilməsi nəticəsində elmə daxil edilmiş və daha sonra isə A.A. Markov və T.İ. Stiltyes tərəfindən inkişaf etdirilmişdir.

Polinom bölmə — cəbrdə bir çoxhədlini bərabər və ya daha kiçik dərəcəli digər çoxhədliyə bölmə alqoritmidir. Uzun bölmə olaraq adlandırılan üsulun ümumiləşdirilməsi olan alqoritm çətin bir bölmə əməliyyatını xeyli asanlaşdırdığından kağız üzərində hesablana bilir. f(x) və g(x) bir polinom(çoxhədli) (g(x) sıfırdan fərqli olmaq şərti ilə) olmaqla, f ( x ) g ( x ) = q ( x ) + r ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}} bərabərliyini təmin edən q(x) və r(x) çoxhədliləri vardır. Burada r(x)-in dərəcəsi g(x)-inkindən kiçikdir. Sintetik bölmə əməliyyatına f(x) surət, g(x) sıfırdan fərqli bir məxrəc olaraq tətbiq edildiyində bölmə q(x) və qalan r(x) olaracaqdır. Bu üsulda bölünən nizamlı bir ifadə şəklində yazılır. g ( x ) | f ( x ) ¯ {\displaystyle g(x){\overline {\vert f(x)}}} Ən böyük dərəcədən başqa bütün hədlərin əmsalları sıfır olsa belə yazılmalıdır.