Riyazi maliyyə

Riyazi maliyyə — tətbiqi riyaziyyatın maliyyə hesablama ilə əlaqəli riyazi problemlərlə məşğul olan bir qolu. Maliyyə riyaziyyatında hər hansı bir maliyyə aləti bu alətin yaratdığı bəzi (ehtimal ki təsadüfi) pul axını baxımından nəzərdən keçirilir.

Əsas istiqamətlər:

• klassik maliyyə riyaziyyatı və ya kredit riyaziyyatı (faiz hesablamalarının aparılması; müxtəlif borc alətləri ilə əlaqəli məsələlər: veksellər, depozit sertifikatları, istiqrazlar; bankçılıqda, kreditləşmədə, investisiyalarda istifadə olunan ödəniş axınlarının təhlili);
• maliyyə alətlərinin arbitrajsız (və ya "ədalətli") qiymətinin hesablanması da daxil olmaqla stoxastik maliyyə riyaziyyatı;
• aktuar hesablamaların aparılması (sığortanın riyazi əsasını təşkil edən);
• maliyyə bazarlarının davranışının proqnozlaşdırılması ilə əlaqəli ekonometrik hesablamalar.

Klassik maliyyə riyaziyyatının vəzifəsi, pulun zaman dəyərinin meyarlarına əsasən (endirim faktoru nəzərə alınmaqla) müxtəlif maliyyə alətlərindən gələn pul axınlarının müqayisəsi, müəyyən maliyyə alətlərinə qoyulan investisiyaların səmərəliliyinin qiymətləndirilməsi (investisiya layihələrinin səmərəliliyinin qiymətləndirilməsi daxil olmaqla) və alətlərin seçilməsi üçün meyarların hazırlanmasıdır. Klassik maliyyə riyaziyyatında, default olaraq, faiz dərəcələri və ödəniş axınlarının determinizmi qəbul edilir.

Stokastik maliyyə riyaziyyatı ehtimal olunan ödənişlər və dərəcələrlə məşğul olur. Əsas məqsəd bazar şərtlərinin ehtimal xarakterini və alətlərdən ödəniş axını nəzərə alınmaqla alətlərin adekvat qiymətləndirilməsini əldə etməkdir. Formal olaraq, buraya varyans-orta təhlil çərçivəsində alətlər portfelinin optimallaşdırılması daxildir. Həmçinin maliyyə risklərinin qiymətləndirilməsi metodları stoxastik maliyyə riyaziyyatı modellərinə əsaslanır. Eyni zamanda, stoxastik maliyyə riyaziyyatında risklərin qiymətləndirilməsi, o cümlədən maliyyə alətlərinin adekvat qiymətləndirilməsi üçün meyarların müəyyənləşdirilməsi zərurətə çevrilir.

Maliyyə mühəndisliyinin ilk nümunələrindən biri qədim yunan filosofu Fales Miletsikinin (E.ə. 624–546 illər) əsərləridir. Aristotelin kitabına görə Thales, zeytun presləri nümunəsini istifadə edərək riyaziyyatın zənginləşdirməyə necə təsir göstərə biləcəyini göstərdi, onun modeli isə müəyyən bir məhsulu müəyyən bir zamanda almaq hüququ verən bir zəng variantından başqa bir şey deyildi^[1].

1202-ci ildə Fibonaççi maliyyə riyaziyyatının elementlərini özündə cəmləşdirən ilk kitabı — "Abakus kitabı"-nı yazdı. Burada investisiya qoyuluşlarını ifadə etmək üçün ümumi bir metod inkişaf etdirməklə yanaşı alternativ pul axınlarının mövcud dəyərini hesabladı və geniş faiz problemlərini həll etdi.

1565-ci ildə İtalyan riyaziyyatçısı Cerolamo Kardano qumarın ibtidai nəzəriyyəsini quran "Qumar haqqında" adlı kitabını nəşr etdirdi^[2].

1654-cü ildə Fransız riyaziyyatçıları Blez Paskal və Pyer Fermat ehtimal nəzəriyyəsinin əsasını qoydular. Onların qoyduqları vəzifə, 24 zər zərbəsi ilə 6 xalın iki dəfə düşəcəyinə bahis olub-olmamasına qərar vermək idi. Paskal və Fermatın mübadilə etdikləri bir sıra məktublarda bu problemi və nöqtə problemini ("bitməmiş oyun" problemi kimi də bilinir) həll etdilər, bu da Koks-Ross-Rubinşteyn modeli üçün zəng opsiyası qiymət problemi ilə eynidir.

1900-cü ildə Fransız riyaziyyatçısı Lui Başelye fərziyyələr nəzəriyyəsi üzrə dissertasiyasını müdafiə etdi və sonradan müasir maliyyə riyaziyyatının yaranmasının sübutu kimi qəbul edildi. Bachelier, Brownian hərəkətini riyaziyyata gətirən və traektoriyalarından səhm qiymətlərinin dinamikasını modelləşdirmək və opsion qiymətlərini hesablamaq üçün istifadə edən ilk şəxs hesab olunur.

Hazırda maliyyə riyaziyyatında istifadə olunan düsturlar və nəzəriyyələr arasında Kiyosi İto, Herri Markovits, Fişer Blek, Mayron Şoulz, Robert Merton^[3] əsərləri mühüm yer tutur.

Maliyyə riyaziyyatının hesablama prosedurları investisiya faizlərinin hesablanması prinsiplərinə əsaslanır. Sadə faiz qazanılmış faizlərin yenidən investisiya qoyuluşunu əhatə etmir. Bu səbəbdən, PV cəmini yatıraraq t vaxtında əldə edilən ümumi FV xətti olaraq təyin olunur ${\displaystyle FV_{t}=PV(1+it)}$.

Bununla birlikdə, ən çox maliyyə riyaziyyatı, alınan faizin yenidən sərmayəsi (kapitallaşdırılması) nəzərə alındıqda mürəkkəb faizlə məşğul olur. Bu vəziyyətdə, gələcək dəyər formulu eksponent forma alır:

${\displaystyle FV_{t}=PV(1+i)^{t}=PVe^{rt}~,~~r=\ln(1+i)}$

burada r — davamlı və ya loqaritmik nisbət. Mürəkkəb faizin sonuncu işarəsi analitik məqsədlər üçün faydalı ola bilər.

Maliyyə təcrübəsində illik faiz dərəcələrini təyin etmək adətdir, hesablama və kapitallaşdırma ildə bir dəfədən tez-tez baş verə bilər. Faizlər ildə m dəfə kapitallaşdırılırsa, gələcək dəyər formulu formanı alır

${\displaystyle FV_{t}=PV(1+i/m)^{mt}=PV(1+i_{e})^{t}}$

burada ${\displaystyle i_{e}=(1+i/m)^{m}-1}$ — effektiv illik faiz dərəcəsi.

Effektiv dərəcə, fərqli investisiya variantlarını fərqli nominal dərəcələr və faiz kapitallaşdırma dövrləri ilə müqayisə etmək üçün istifadə edilə bilər. ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ ilə davamlı hesablanır və düstur ${\displaystyle FV_{t}=PVe^{rt}}$ formasını alır. Bu düstur logaritmik nisbətə bərabər r nisbətində mürəkkəb faiz üçün yuxarıdakı düstura bərabərdir.

• Финансовая и актуарная математика  // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). СПб.. 1890–1907.
• Малыхин В. И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2003. ISBN 5-238-00559-8.
• Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс. 2013 [Options, Futures, and Other Derivatives]. ISBN 978-5-8459-1815-4.
• Ширяев, Альберт Николаевич. Основы стохастической финансовой математики. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС. 1998. ISBN 5-7036-0043-X.
• Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. 2. Теория. М.: ФАЗИС. 1998. ISBN 5-7036-0043-8.
• Martin W. Baxter, Andrew J. O. Rennie. Financial Calculus. An introduction to derivative pricing. Cambridge University Press, Cambridge 2001. ISBN 0-521-55289-3
• Hans-Peter Deutsch. Derivate und Interne Modelle. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart 2004. ISBN 3-7910-2211-3
• Michael Günther, Ansgar Jüngel. Finanzderivate mit MATLAB. Mathematische Modellierung und numerische Simulation. Vieweg, Wiesbaden 2003. ISBN 3-528-03204-9
• Jürgen Kremer. Einführung in die diskrete Finanzmathematik. Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-25394-7
• Volker Oppitz, Volker Nollau. Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Carl Hanser Verlag, München 2003. ISBN 3-446-22463-7
• Volker Oppitz. Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung. Gabler, Wiesbaden 1995. ISBN 3-409-19951-9
• Paul Wilmott. Paul Wilmott on Quantitative Finance. John Wiley, Chichester 2000. ISBN 0-471-87438-8